Uma comporta circular, com diâmetro D=1,0 \mathrm{~m}, esta instalada em uma barragem de rejeitos \left(\gamma=3500 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{3}\right) a 10 metros de profundidade. Calcular o empuxo resultante e o seu ponto de aplicação.
\mathrm{F}=\gamma \times \mathrm{h}_{\mathrm{CG}} \times \mathrm{A}
\mathrm{Ix}=\pi \times \mathrm{D}^{4} / 64

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listei tudo bem claro):
  • Diâmetro da comporta: D=1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • A comporta está a 10\\ \mathrm{m} de profundidade (ou seja, a profundidade do centróide da área é h_{CG}=10\\ \mathrm{m}).
  • Peso específico do fluido (dado em kgf por volume): \gamma=3500\\ \mathrm{kgf/m^{3}}.
  • Fórmulas fornecidas pelo enunciado:
    • Força resultante: \mathrm{F}=\gamma \times h_{CG} \times A.
    • Momento de inércia da área circular (para eixo horizontal pelo centróide): \mathrm{I_x}=\pi D^{4}/64.
  • O que o problema pede:
    1. Calcular o empuxo resultante (magnitude da força hidrostática sobre a comporta).
    2. Calcular o ponto de aplicação desse empuxo (profundidade da linha de ação, ou centro de pressão).

Passo 2

Interpretação física e unidade: o dado \gamma=3500\\ \mathrm{kgf/m^{3}} é o peso específico expresso em quilograma-força por metro cúbico. Para trabalhar no SI e obter a força em newtons, converte-se 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}81\\ \mathrm{N}. Portanto converto \gamma para \mathrm{N/m^{3}}:
\gamma_{N} = 3500 \times 9{,}81 = 34335\\ \mathrm{N/m^{3}}.
(Manterei também a opção de calcular diretamente em \mathrm{kgf} para comparação.)

Passo 3

Área da comporta (círculo) e centróide: a área de um círculo é
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=1{,}0\\ \mathrm{m}
A=\frac{\pi\times 1^{2}}{4}=\frac{\pi}{4}=0{,}785398\\ \mathrm{m^{2}}.
A profundidade do centróide é h_{CG}=10\\ \mathrm{m} (informação do enunciado).

Passo 4

Cálculo do empuxo resultante usando a fórmula F=\gamma\,h_{CG}\,A. Explicação rápida do porquê: a pressão hidrostática num ponto a profundidade h é p=\gamma h. Para uma superfície plana vertical com pressão linear, o resultado total é a pressão no centróide multiplicada pela área, que é exatamente \gamma h_{CG} A.
Agora os números:
F = \gamma_{N}\,h_{CG}\,A = 34335 \times 10 \times 0{,}785398 = 269666{,}3\\ \mathrm{N}.
Convém expressar em kN:
F \approx 269{,}7\\ \mathrm{kN}.
Se calcular direto em \mathrm{kgf} (usando \gamma=3500\\ \mathrm{kgf/m^{3}}) obtemos
F=3500\times 10 \times 0{,}785398 = 27488{,}94\\ \mathrm{kgf},
e 27488{,}94\\ \mathrm{kgf}\times 9{,}81\\ \mathrm{N/kgf}=269666{,}3\\ \mathrm{N} (verificação).

Passo 5

Determinar o ponto de aplicação (centro de pressão) para uma superfície plana vertical: a profundidade do centro de pressão h_{p} medida a partir da superfície livre é dada por
h_{p}=h_{CG}+\frac{I_{x}}{h_{CG}\,A},
onde I_{x} é o momento de inércia da área em relação ao eixo horizontal que passa pelo centróide. Essa fórmula vem de calcular a coordenada média ponderada pela pressão p=\gamma y, integrar y p sobre a área e dividir por \int p\,dA. Cada símbolo aqui:
  • h_{CG} é a profundidade do centróide,
  • A é a área,
  • I_{x} é o momento de inércia da área em relação ao eixo horizontal pelo centróide (unidade \mathrm{m^{4}}).
Para um círculo:
I_{x}=\frac{\pi D^{4}}{64}.
Substituindo D=1{,}0\\ \mathrm{m}
I_{x}=\frac{\pi\times 1^{4}}{64}=\frac{\pi}{64}=0{,}049087\\ \mathrm{m^{4}}.

Passo 6

Cálculo numérico do acréscimo ao centróide e do centro de pressão. Para simplificar algebricamente primeiro:
\frac{I_{x}}{h_{CG}\,A} = \frac{\dfrac{\pi D^{4}}{64}}{h_{CG}\dfrac{\pi D^{2}}{4}} = \frac{D^{2}}{16\,h_{CG}}.
Isso é prático: para D=1{,}0\\ \mathrm{m} e h_{CG}=10\\ \mathrm{m},
\frac{I_{x}}{h_{CG}\,A}=\frac{1^{2}}{16\times 10}=\frac{1}{160}=0{,}00625\\ \mathrm{m}.
Portanto
h_{p}=h_{CG}+0{,}00625 = 10{,}00625\\ \mathrm{m}.
Interpretação: o centro de pressão está apenas 6{,}25\\ \mathrm{mm} abaixo do centróide da abertura — para uma pequena abertura relativa à profundidade isso é muito pequeno, o que faz sentido físico.

Passo 7

Resumo físico e orientação: a força resultante é horizontal (empuxo sobre uma superfície vertical age na direção normal à superfície), com magnitude calculada em \mathrm{N} e local de aplicação vertical a h_{p} abaixo da superfície livre. Dá para anotar o vetor força apontando para a comporta no sentido que pressiona a comporta para fora/para dentro da estrutura, conforme o contexto do problema.

Resposta

F=269666{,}3\\ \mathrm{N}\approx 269{,}7\\ \mathrm{kN} (equivalente a 27488{,}94\\ \mathrm{kgf})
h_{p}=10{,}00625\\ \mathrm{m} (profundidade abaixo da superfície livre)

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