Uma comporta circular, com diâmetro
, esta instalada em uma barragem de rejeitos
a 10 metros de profundidade. Calcular o empuxo resultante e o seu ponto de aplicação.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (listei tudo bem claro):
- Diâmetro da comporta:
. - A comporta está a
de profundidade (ou seja, a profundidade do centróide da área é ). - Peso específico do fluido (dado em kgf por volume):
. - Fórmulas fornecidas pelo enunciado:
- Força resultante:
. - Momento de inércia da área circular (para eixo horizontal pelo centróide):
.
- Força resultante:
- O que o problema pede:
- Calcular o empuxo resultante (magnitude da força hidrostática sobre a comporta).
- Calcular o ponto de aplicação desse empuxo (profundidade da linha de ação, ou centro de pressão).
Passo 2
Interpretação física e unidade: o dado
é o peso específico expresso em quilograma-força por metro cúbico. Para trabalhar no SI e obter a força em newtons, converte-se
. Portanto converto
para
:
(Manterei também a opção de calcular diretamente em
para comparação.)
Passo 3
Área da comporta (círculo) e centróide: a área de um círculo é
Substituindo
dá
A profundidade do centróide é
(informação do enunciado).
Passo 4
Cálculo do empuxo resultante usando a fórmula
. Explicação rápida do porquê: a pressão hidrostática num ponto a profundidade
é
. Para uma superfície plana vertical com pressão linear, o resultado total é a pressão no centróide multiplicada pela área, que é exatamente
.
Agora os números:
Convém expressar em kN:
Se calcular direto em
(usando
) obtemos
e
(verificação).
Passo 5
Determinar o ponto de aplicação (centro de pressão) para uma superfície plana vertical: a profundidade do centro de pressão
medida a partir da superfície livre é dada por
onde
é o momento de inércia da área em relação ao eixo horizontal que passa pelo centróide. Essa fórmula vem de calcular a coordenada média ponderada pela pressão
, integrar
sobre a área e dividir por
. Cada símbolo aqui:
-
é a profundidade do centróide, -
é a área, -
é o momento de inércia da área em relação ao eixo horizontal pelo centróide (unidade ).
Para um círculo:
Substituindo
dá
Passo 6
Cálculo numérico do acréscimo ao centróide e do centro de pressão. Para simplificar algebricamente primeiro:
Isso é prático: para
e
,
Portanto
Interpretação: o centro de pressão está apenas
abaixo do centróide da abertura — para uma pequena abertura relativa à profundidade isso é muito pequeno, o que faz sentido físico.
Passo 7
Resumo físico e orientação: a força resultante é horizontal (empuxo sobre uma superfície vertical age na direção normal à superfície), com magnitude calculada em
e local de aplicação vertical a
abaixo da superfície livre. Dá para anotar o vetor força apontando para a comporta no sentido que pressiona a comporta para fora/para dentro da estrutura, conforme o contexto do problema.