Um tanque cilíndrico de diâmetro 600 mm e 80 cm de altura foi totalmente preenchido com massas iguais e dois líquidos imiscíveis de densidades 1,3 e 1,7 . Determinar a pressão no fundo em \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2} e em \mathrm{mH}_{2} \mathrm{O} e definir a disposição dos líquidos no interior do tanque.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Diâmetro do cilindro: \,D=600\\ \text{mm}.
  • Altura total do líquido no tanque: \,H=80\\ \text{cm}.
  • Dois líquidos imiscíveis com densidades \rho_1=1,3 e \rho_2=1,7. (Estas densidades estão dadas em \,\text{g/cm}^3 ou, equivalentemente, em vezes a densidade da água.)
  • Os dois líquidos ocupam o tanque de modo que têm massas iguais.
O enunciado pede:
  1. Determinar a pressão no fundo do tanque em \,\text{kgf/cm}^2.
  2. Determinar a mesma pressão em \,\text{mH}_2\text{O} (metros de coluna de água).
  3. Definir a disposição (ordem) dos líquidos no interior do tanque.

Passo 2

Entendimento físico e ideia de solução (passo-a-passo conceitual).
  • Líquidos imiscíveis: o líquido de maior densidade fica abaixo (afunda), o de menor densidade fica acima (flutua). Então o líqu. com \rho=1{,}7 ficará abaixo do de \rho=1{,}3.
  • Como as massas são iguais, as alturas das camadas serão diferentes: massa m=\rho \,A\,h (onde A é a área da base do cilindro e h a altura da camada). Igualando massas e eliminando A teremos uma relação entre alturas.
  • A pressão no fundo é a soma das pressões hidrásticas de cada camada: p=\rho_1 g h_1+\rho_2 g h_2.
  • Vou calcular primeiro as alturas h_1 e h_2, depois calcular p em \text{Pa} e, por fim, converter para \text{kgf/cm}^2 e para \text{mH}_2\text{O}.

Passo 3

Cálculo das alturas das camadas a partir da condição «massas iguais».
Definindo:
\rho_1=1{,}3\\ \text{g/cm}^3,\qquad \rho_2=1{,}7\\ \text{g/cm}^3, \qquad H=80\\ \text{cm}=0{,}8\\ \text{m}.
Seja h_1 a altura da camada com \rho_1 e h_2 a altura da camada com \rho_2. Igualando massas:
\rho_1 A h_1=\rho_2 A h_2 \quad\Rightarrow\quad \rho_1 h_1=\rho_2 h_2.
Como h_1+h_2=H, resolvemos:
h_1=\frac{\rho_2}{\rho_1+\rho_2}\,H,\qquad h_2=\frac{\rho_1}{\rho_1+\rho_2}\,H.
Substituindo numericamente (aqui uso as densidades em unidades relativas; o fator escala cancela na razão):
h_1=\frac{1{,}7}{1{,}3+1{,}7}\cdot0{,}8=\frac{1{,}7}{3{,}0}\cdot0{,}8=0{,}453\overline{3}\\ \text{m}=45{,}33\\ \text{cm},
h_2=\frac{1{,}3}{3{,}0}\cdot0{,}8=0{,}346\overline{6}\\ \text{m}=34{,}67\\ \text{cm}.
Comentário intuitivo: o líquido mais leve ( \rho_1=1{,}3) ocupa mais altura ( 45{,}33\\ \text{cm}); o mais denso ( \rho_2=1{,}7) fica abaixo com menor altura ( 34{,}67\\ \text{cm}).

Passo 4

Cálculo da pressão no fundo em unidades SI ( \text{Pa}), explicando fórmulas e conversões.
Fórmula da pressão hidrostática de uma coluna: \,p=\rho g h, onde
  • \rho é a densidade em \text{kg/m}^3,
  • g é a aceleração da gravidade \,g=9{,}80665\\ \text{m/s}^2,
  • h é a altura da coluna em metros.
Converto as densidades para \text{kg/m}^3:
\rho_1=1{,}3\\ \text{g/cm}^3=1300\\ \text{kg/m}^3,\qquad \rho_2=1{,}7\\ \text{g/cm}^3=1700\\ \text{kg/m}^3.
A pressão total no fundo é soma das contribuições das duas camadas:
p=\rho_1 g h_1+\rho_2 g h_2.
Agora calculo cada termo (mostrando etapas):
\rho_1 g h_1=1300\cdot9{,}80665\cdot0{,}453\overline{3}=5\,779{,}386\\ \text{Pa},
\rho_2 g h_2=1700\cdot9{,}80665\cdot0{,}346\overline{6}=5\,779{,}386\\ \text{Pa}.
Observação pedagógica: ambos os termos ficaram iguais porque \rho_1 h_1=\rho_2 h_2 (igualdade das massas), logo cada camada contribui com a mesma pressão no fundo.
Somando:
p=5\,779{,}386+5\,779{,}386=11\,558{,}772\\ \text{Pa}.
Arredondando com razoável precisão: p\approx11\,558{,}77\\ \text{Pa}.

Passo 5

Conversão da pressão para \text{kgf/cm}^2.
Relação útil: 1\\ \text{kgf}=9{,}80665\\ \text{N}, e 1\\ \text{kgf/cm}^2=9{,}80665\times10^{4}\\ \text{Pa}=98\,066{,}5\\ \text{Pa}.
Portanto:
p_{(\text{kgf/cm}^2)}=\frac{p_{(\text{Pa})}}{98\,066{,}5} =\frac{11\,558{,}772}{98\,066{,}5}\approx0{,}1179\\ \text{kgf/cm}^2.
Arredondando a três algarismos significativos: \,p\approx0{,}118\\ \text{kgf/cm}^2.

Passo 6

Conversão da pressão para \text{mH}_2\text{O} (metros de coluna de água).
Definição: 1\\ \text{mH}_2\text{O} corresponde à pressão \rho_{\text{água}} g\cdot1\\ \text{m}á, com \rho_{\text{água}}=1000\\ \text{kg/m}^3á. Então
p_{(\text{mH}_2\text{O})}=\frac{p_{(\text{Pa})}}{\rho_{\text{água}} g} =\frac{11\,558{,}772}{1000\cdot9{,}80665} =\frac{11\,558{,}772}{9\,806{,}65}\approx1{,}1788\\ \text{mH}_2\text{O}.á
Arredondando: \,p\approx1{,}18\\ \text{mH}_2\text{O}.
Nota rápida: como 1\\ \text{kgf/cm}^2=10\\ \text{mH}_2\text{O}, a relação entre os resultados está consistente ( 0{,}1179\times10\approx1{,}179).

Passo 7

Resumo final da disposição dos líquidos e das alturas (valores prontos para a prova).
  • Disposição vertical: no fundo fica o líquido mais denso \rho_2=1{,}7 (altura \,h_2=34{,}67\\ \text{cm}), acima dele fica o líquido menos denso \rho_1=1{,}3 (altura \,h_1=45{,}33\\ \text{cm}).
  • Pressão no fundo obtida como soma das duas colunas: p\approx11\,558{,}77\\ \text{Pa}, que corresponde a \approx0{,}118\\ \text{kgf/cm}^2 e \approx1{,}18\\ \text{mH}_2\text{O}.

Resposta

p\approx0{,}118\\ \text{kgf/cm}^2
p\approx1{,}18\\ \text{mH}_2\text{O}
Disposição: líquido de \rho=1{,}7 no fundo ( h_2=34{,}67\\ \text{cm}), líquido de \rho=1{,}3 por cima ( h_1=45{,}33\\ \text{cm}).

Exercícios relacionados