Uma comporta descarrega uma vazão
de
em um canal retangular com rugosidade
de 0,013 e declividade nula. Sabendo que a profundidade mínima a jusante da comporta é de
, determine a que distância ocorrerá a profundidade de
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o enunciado pede. A gente tem uma comporta que solta uma vazão específica de
em um canal retangular, com rugosidade de Manning
e declividade do fundo
. A jusante da comporta, a profundidade “mínima” vale
. A questão quer saber: a que distância
essa lâmina vai subir até
?
Conteúdo: escoamento gradualmente variado (EGV) em canal aberto, equação de Chezy/Manning, separação de variáveis e integração numérica. Vamos precisar:
Conteúdo: escoamento gradualmente variado (EGV) em canal aberto, equação de Chezy/Manning, separação de variáveis e integração numérica. Vamos precisar:
- Montar a equação diferencial
, onde vem de Manning. - Separar variáveis e integrar de
até . - Fazer a integral numericamente (por ex. método de Simpson).
Passo 2
Teoria que cai aqui: em escoamento gradualmente variado, a variação de profundidade vem da perda de carga por atrito. A equação básica é
Como
, temos
Pela fórmula de Manning, a perda de carga por atrito é
sendo
a vazão por metro de largura,
a área da seção molhada e
o raio hidráulico.
Passo 3
No nosso canal retangular de largura unitária (1 m),
Logo
Reorganizando para separar variáveis:
Passo 4
Agora integraremos de
até
:
Colocando
e
, temos
Então
onde
.
Passo 5
Para resolver essa integral, usamos o método de Simpson em 4 subintervalos (h = 0,175 m). Calculando
em
obtemos aproximadamente:
f(0,30)=0,00967
f(0,475)=0,03436
f(0,65)=0,0780
f(0,825)=0,1435
f(1,00)=0,2311
f(0,30)=0,00967
f(0,475)=0,03436
f(0,65)=0,0780
f(0,825)=0,1435
f(1,00)=0,2311
Aplicando Simpson:
Passo 6
Multiplicando pelo fator 236,7:
Resposta
A profundidade atinge
a cerca de 15,3 metros a jusante da comporta.