Uma comporta descarrega uma vazão q de 5 m^3 / s m em um canal retangular com rugosidade eta de 0,013 e declividade nula. Sabendo que a profundidade mínima a jusante da comporta é de 0,30 m, determine a que distância ocorrerá a profundidade de 1,00 m.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o enunciado pede. A gente tem uma comporta que solta uma vazão específica de em um canal retangular, com rugosidade de Manning e declividade do fundo . A jusante da comporta, a profundidade “mínima” vale . A questão quer saber: a que distância essa lâmina vai subir até ?
Conteúdo: escoamento gradualmente variado (EGV) em canal aberto, equação de Chezy/Manning, separação de variáveis e integração numérica. Vamos precisar:
  • Montar a equação diferencial , onde vem de Manning.
  • Separar variáveis e integrar de até .
  • Fazer a integral numericamente (por ex. método de Simpson).

Passo 2

Teoria que cai aqui: em escoamento gradualmente variado, a variação de profundidade vem da perda de carga por atrito. A equação básica é
S0 = Sf + dydx
Como dydx = -,Sf , temos
Sf = n^2,q^2A^2,R^4/3,
Pela fórmula de Manning, a perda de carga por atrito é
sendo a vazão por metro de largura, a área da seção molhada e o raio hidráulico.

Passo 3

No nosso canal retangular de largura unitária (1 m),
A = y,, P = 1 + 2yLongrightarrow R = AP = y1+2y
Logo
dydx = -,n^2,q^2y^2;l(y1+2yr)^-4/3 = -,n^2,q^2y^2;(1+2y)^4/3y^4/3 = -,n^2,q^2,(1+2y)^4/3y^10/3
Reorganizando para separar variáveis:
dx = -,y^10/3n^2,q^2,(1+2y)^4/3;dy

Passo 4

Agora integraremos de x ;=;integral0,30^1,00 y^10/3n^2,q^2,(1+2y)^4/3 ;dy até n^2,q^2 = (0,013)^2 cdot 5^2 = 0,004225 :
x = 10,004225 integral0,30^1,00 y^10/3(1+2y)^4/3 ,dy ;approx;236,7 integral0,30^1,00 f(y),dy,
Colocando e , temos
Então
onde .

Passo 5

Para resolver essa integral, usamos o método de Simpson em 4 subintervalos (h = 0,175 m). Calculando integral0,30^1,00 f(y),dy approx 0,1753 l[ f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + f4 r] approx 0,0646;m em
obtemos aproximadamente:
f(0,30)=0,00967
f(0,475)=0,03436
f(0,65)=0,0780
f(0,825)=0,1435
f(1,00)=0,2311
Aplicando Simpson:

Passo 6

Multiplicando pelo fator 236,7:
x approx 236,7 times 0,0646 approx 15,3;m

Resposta

A profundidade atinge a cerca de 15,3 metros a jusante da comporta.

Exercícios relacionados