O comportamento de um gás real pode ser descrito pelo fator de compressibilidade \mathrm{Z}=\mathrm{PV} / \mathrm{nRT}. Um gás apresenta as seguintes medições experimentais: barP =50 bar, \mathrm{KT}=350 \mathrm{~K}, \mathrm{LV}=0,40 \mathrm{~L} para 1,0 \mathrm{~mol}.
(a) Calcule o valor de Z.
(b) A partir do valor obtido, explique se o gás apresenta predomínio de forças atrativas ou repulsivas, justificando teoricamente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados foram fornecidos.
O enunciado pede:
(a) Calcular o valor do fator de compressibilidade Z.
(b) A partir do valor obtido, dizer se o gás apresenta predomínio de forças atrativas ou repulsivas, justificando teoricamente.
Dados fornecidos (pego diretamente do enunciado):
  • \mathrm{P} = 50\\ \mathrm{bar}.
  • \mathrm{T} = 350\\ \mathrm{K}.
  • \mathrm{V} = 0,40\\ \mathrm{L} para n = 1,0\\ \mathrm{mol}.
Lembrete da definição que vamos usar (não estou resolvendo ainda, só registrando a fórmula):
  • O fator de compressibilidade é \displaystyle Z=\frac{\mathrm{P}\,\mathrm{V}}{nRT}.
  • R é a constante universal dos gases perfeitos; quando usamos unidades SI, R=8,3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 2

Converter todas as grandezas para unidades consistentes do Sistema Internacional (SI), porque vou usar R em \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} e \mathrm{J}=\mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^3.
Conversões:
  • Pressão: 1\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    Portanto \displaystyle \mathrm{P}=50\\ \mathrm{bar}=50\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}=5{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Volume: 1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.
    Portanto \displaystyle \mathrm{V}=0,40\\ \mathrm{L}=0,40\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m}^3=4{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
  • Número de mols: n=1{,}0\\ \mathrm{mol} (já está em SI).
  • Temperatura: \mathrm{T}=350\\ \mathrm{K} (já está em SI).
  • Constante dos gases: \displaystyle R=8{,}3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 3

Calcular o numerador \mathrm{P}\,\mathrm{V} e o denominador nRT separadamente, mostrando cada passo.
Calcular \mathrm{P}\,\mathrm{V}:
\mathrm{P}\,\mathrm{V} = \left(5{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\right)\cdot\left(4{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3\right).
Multiplicando potências de 10 e coeficientes:
5{,}0\times10^{6}\cdot4{,}0\times10^{-4} = (5{,}0\cdot4{,}0)\times10^{6-4} = 20{,}0\times10^{2} = 2{,}0\times10^{3}.
Portanto
\mathrm{P}\,\mathrm{V} = 2{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{Pa\cdot m^3} = 2000\\ \mathrm{J}.
Calcular nRT:
nRT = (1{,}0\\ \mathrm{mol})\cdot(8{,}3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}})\cdot(350\\ \mathrm{K}).
Multiplicando:
8{,}3145\cdot350 = 8{,}3145\cdot(3{,}5\times10^{2}) = 2910{,}075.
Portanto
nRT = 2910{,}075\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular Z usando os valores obtidos:
Z=\frac{\mathrm{P}\,\mathrm{V}}{nRT} = \frac{2000}{2910{,}075}.
Fazendo a divisão:
Z \approx 0{,}6874\ldots
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos):
Z \approx 0{,}687.

Passo 5

Interpretar o valor de Z e justificar teoricamente por que esse valor indica predominância de forças atrativas ou repulsivas.
  1. Regra prática:
  • Se Z=1, o gás comporta-se como gás ideal (nenhum desvio).
  • Se Z>1, o produto \mathrm{P}\mathrm{V} é maior que nRT: há efeito de forças repulsivas predominando (moléculas “empurram” mais, ocupam mais volume efetivo).
  • Se Z<1, o produto \mathrm{P}\mathrm{V} é menor que nRT: há efeito de forças atrativas predominando (as moléculas puxam umas às outras, reduzindo a pressão/interação com as paredes).
Aqui encontramos Z\approx0{,}687<1. Isso significa que, nas condições dadas, o gás exerce uma pressão menor do que um gás ideal nas mesmas T e V: conclusão — predomínio de forças atrativas entre moléculas.
  1. Justificativa teórica curta (dois pontos de vista, simples e didático):
  • Intuição física: forças atrativas entre moléculas diminuem a frequência e intensidade dos impactos das moléculas nas paredes do recipiente (porque as moléculas tendem a se “puxar” mutuamente), então a pressão medida é menor que a prevista pela equação dos gases ideais; como Z=\mathrm{P}\mathrm{V}/(nRT), isso dá Z<1.
  • Formulação em termos de modelos reais:
    • Virial: a expansão virial em potências do volume molar V_m Z = 1 + \frac{B(T)}{V_m} + \frac{C(T)}{V_m^2} + \dotsonde B(T) é o segundo coeficiente viral. Quando B(T)<0 (ocorre em temperaturas moderadas), o termo \dfrac{B(T)}{V_m} é negativo e produz Z<1; esse B(T)<0 é associado a forças atrativas dominantes.
    • Equação de van der Waals (intuição simples): a equação \left(P+\frac{a}{V_m^2}\right)(V_m-b)=RTpode ser rearranjada para mostrar que existe um termo -\dfrac{a}{V_m^2} que reduz a pressão efetiva em relação ao ideal; esse termo provém das atrações (constante a > 0 representa a intensidade das atraçõess). Esse efeito leva a Z<1 quando as atrações predominam.
  1. Observação prática: em pressões moderadas a altas e temperaturas não muito elevadas é comum encontrar Z<1 (atrações dominantes) antes de, em pressões muito altas, as repulsões de curto alcance (volume finito das moléculas) dominarem e Z subir para >1.

Passo 6

Resumo motivador (só para te deixar animado): encontramos um número claro ( Z\approx0{,}687), que já diz bastante — o gás está “mais compacto” que o ideal devido a atrações entre partículas. Na prova, se vir Z<1 diga direto “atrações predominam” e justifique com a frase curta: "atrações diminuem a pressão efetiva, logo PV<nRT".

Resposta

(a) Z \approx 0{,}687
(b) Predomínio de forças atrativas.

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