Em um compósito de náilon 6,6 reforçado com fibras de carbono contínuas e alinhadas, as fibras devem suportar 97% de uma carga aplicada na direção longitudinal.
(a) Considerando os dados fornecidos, determine a fração volumétrica de fibras necessária.
(b) Qual será o limite de resistência à tração desse compósito? Considere que a tensão na matriz no momento da falha da fibra seja de 50 MPa .
Módulo de Elasticidade [GPa (psi)] Limite de Resistência à Tração [MPa (psi)]
Fibra de carbono 260\left(37 \times 10^{6}\right) 4000 (580.000)
Náilon 6,6 2,8\left(4,0 \times 10^{5}\right) 76 (11.000)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar a fração volumétrica de fibras necessária para que as fibras suportem 97\% da carga aplicada na direção longitudinal.
  • (b) Determinar o limite de resistência à tração do compósito, sabendo que a tensão na matriz no momento da falha da fibra é 50\\ \mathrm{MPa}.
Informações fornecidas (peguei esses valores da tabela do enunciado):
E_f = 260\\ \mathrm{GPa},\quad E_m = 2{,}8\\ \mathrm{GPa}
\sigma_f^{\mathrm{ult}} = 4000\\ \mathrm{MPa},\quad \sigma_m\big|_{\text{na falha da fibra}} = 50\\ \mathrm{MPa}
Além disso, queremos que a fração da carga longitudinal suportada pelas fibras seja 97\%.

Passo 2

Conceito físico básico (explicação didática, passo-a-passo):
  • Em um compósito com fibras contínuas e alinhadas submetido a tração longitudinal, fibra e matriz deformam-se juntos: têm a mesma deformação \epsilon (compatibilidade de deformação).
  • Se a deformação é a mesma, a tensão em cada fase é proporcional ao seu módulo de elasticidade por \sigma = E\epsilon. Ou seja:
\sigma_f = E_f\,\epsilon,\qquad \sigma_m = E_m\,\epsilon.
  • A força axial total por unidade de área (tensão média do compósito) é a soma ponderada das tensões em cada fase:
\sigma_c = V_f\,\sigma_f + V_m\,\sigma_m,
onde V_f é a fração volumétrica de fibras e V_m = 1 - V_f é a fração volumétrica da matriz.
  • A fração da carga (força) que as fibras suportam é a razão entre a contribuição das fibras e a força total:
\text{fração}_{\text{fibras}}=\dfrac{V_f\,\sigma_f}{V_f\,\sigma_f + V_m\,\sigma_m}.çã

Passo 3

Expressar a condição pedida usando as equações acima:
  • Queremos \text{fração}_{\text{fibras}} = 0{,}97çã. Substituindo \sigma_f = E_f\epsilon e \sigma_m = E_m\epsilon (o \epsilon cancela), obtemos a equação em função de V_f:
0{,}97 = \dfrac{V_f E_f}{V_f E_f + (1 - V_f)E_m}.
Agora vamos resolver essa equação para V_f.

Passo 4

Resolver algebricamente para V_f.
0{,}97\Bigl(V_f E_f + (1 - V_f)E_m\Bigr) = V_f E_f
0{,}97 V_f E_f + 0{,}97(1 - V_f)E_m = V_f E_f
0{,}97(1 - V_f)E_m = V_f E_f - 0{,}97 V_f E_f = 0{,}03\,V_f E_f
0{,}97 E_m - 0{,}97 E_m V_f = 0{,}03\,V_f E_f
0{,}97 E_m = V_f\bigl(0{,}97 E_m + 0{,}03 E_f\bigr)
V_f = \dfrac{0{,}97 E_m}{0{,}97 E_m + 0{,}03 E_f}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos ( E_f = 260\\ \mathrm{GPa}, E_m = 2{,}8\\ \mathrm{GPa}). Vou calcular passo a passo:
\text{numerador} = 0{,}97\cdot E_m = 0{,}97\cdot 2{,}8 = 2{,}716\\ \mathrm{GPa}
\text{denominador} = 0{,}97\cdot 2{,}8 + 0{,}03\cdot 260 = 2{,}716 + 7{,}8 = 10{,}516\\ \mathrm{GPa}
V_f = \dfrac{2{,}716}{10{,}516} \approx 0{,}258313\quad(\text{fração})çã
Convertendo para porcentagem:
V_f \approx 25{,}83\\ \%.

Passo 6

Agora a parte (b): estimar o limite de resistência à tração do compósito.
  • Modelo simples e comum (regra das misturas para resistência sob tração longitudinal) assume que, no momento da falha das fibras, a resistência do compósito é a soma ponderada:
\sigma_c^{\mathrm{ult}} = V_f\,\sigma_f^{\mathrm{ult}} + V_m\,\sigma_m\big|_{\text{na falha da fibra}}.
  • Essa fórmula assume que as fibras atingem sua resistência \sigma_f^{\mathrm{ult}} e que a matriz, que ainda não falhou, está com a tensão dada ( 50\\ \mathrm{MPa} segundo o enunciado).

Passo 7

Substituir V_f e os valores numéricos:
\sigma_c^{\mathrm{ult}} = V_f\cdot 4000 + (1 - V_f)\cdot 50\quad(\mathrm{MPa})
Usando V_f \approx 0{,}258313:
V_f\cdot 4000 \approx 0{,}258313\cdot 4000 = 1033{,}252\\ \mathrm{MPa}
(1 - V_f)\cdot 50 \approx 0{,}741687\cdot 50 = 37{,}084\\ \mathrm{MPa}
\sigma_c^{\mathrm{ult}} \approx 1033{,}252 + 37{,}084 = 1070{,}336\\ \mathrm{MPa}

Passo 8

Interpretação curta e motivadora: chegamos a uma fração volumétrica de fibras relativamente baixa ( \sim 26\%) porque as fibras têm módulo muito maior que a matriz, então mesmo um volume moderado de fibras carrega a maior parte da carga. Com essa fração, a resistência do compósito fica da ordem de 1{,}07\\ \mathrm{GPa}, dominada pela altíssima resistência das fibras.

Resposta

V_f \approx 0{,}2583 (ou 25{,}83\%)
\sigma_c^{\mathrm{ult}} \approx 1070{,}3\\ \mathrm{MPa}

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