No terceiro dia, o engenheiro trouxe um umidímetro (Speedy). Mediu a umidade da areia com esse equipamento achando \mathrm{h}_{1}=6,0 \%. O índice 1 para a umidade significa que o conceito de umidade é massa da água em relação à massa úmida do agregado. Já se sabe que, em geral, na Engenharia Civil a umidade é calculada em relação à massa seca do material. Qual a umidade da areia usando-se este último conceito?

Passo 1

O enunciado dá o valor da umidade medida pelo umidímetro como \mathrm{h}_{1}=6,0\%. Foi informado que o índice 1 significa que essa umidade é dada pelo quociente entre a massa da água e a massa úmida (massa total: água + sólido). O que o problema pede é a umidade da areia no conceito usual da Engenharia Civil, isto é, a umidade em relação à massa seca do material.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\mathrm{h}_{1}=6,0\% (definida como massa da água dividida pela massa úmida).
Queremos w (umidade em relação à massa seca), definida como massa da água dividida pela massa seca.

Passo 2

Definimos variáveis claras para não nos embolar:
Seja \,m_{w}\, a massa da água e \,m_{s}\, a massa seca (massa dos sólidos). A massa úmida (massa total) é \,m_{\text{úmida}} = m_{s}+m_{w}\,ú.
A umidade medida pelo aparelho (índice 1) é
\mathrm{h}_{1}=\frac{m_{w}}{m_{s}+m_{w}}.
A umidade que queremos (convencional na Engenharia Civil) é
w=\frac{m_{w}}{m_{s}}.
Aqui: \mathrm{h}_{1} e w são grandezas adimensionais (frações); para passar a porcentagem multiplicamos por 100\%.

Passo 3

Vamos relacionar \mathrm{h}_{1} e w. Observe que \,m_{s}+m_{w}=m_{s}(1+w)\,, porque \,m_{w}=w\,m_{s}. Substituindo em \mathrm{h}_{1} temos:
\mathrm{h}_{1}=\frac{m_{w}}{m_{s}+m_{w}}=\frac{w\,m_{s}}{m_{s}(1+w)}=\frac{w}{1+w}.
Portanto a relação entre as duas definições é \displaystyle \mathrm{h}_{1}=\frac{w}{1+w}.

Passo 4

Agora resolvemos essa equação para w. Partimos de
\mathrm{h}_{1}=\frac{w}{1+w}.
Multiplicamos ambos os lados por 1+w:
\mathrm{h}_{1}(1+w)=w.
Expandindo:
\mathrm{h}_{1} + \mathrm{h}_{1}w = w.
Isolando os termos com w num lado:
\mathrm{h}_{1} = w - \mathrm{h}_{1}w = w(1-\mathrm{h}_{1}).
Então:
w=\frac{\mathrm{h}_{1}}{1-\mathrm{h}_{1}}.
Essa é a fórmula de conversão: dado \mathrm{h}_{1} (fração), obtemos w.

Passo 5

Aplicamos numericamente com \mathrm{h}_{1}=6,0\%=0,06 (transformando a porcentagem em fração):
w=\frac{0,06}{1-0,06}=\frac{0,06}{0,94}.

Passo 6

Fazendo a divisão manual (mostro o cálculo para você poder reproduzir na prova sem calculadora):
Podemos escrever \dfrac{0,06}{0,94}=\dfrac{6}{94} multiplicando numerador e denominador por 100. Agora dividimos 6 por 94. Uma forma rápida é reconhecer que 94\approx 100, então o quociente será pouco maior que 6/100=0,06. Calculando exatamente:
\frac{6}{94}=0,063829787\ldots
Ou seja, em porcentagem:
w\approx 6,3829787\%.

Passo 7

Se preferir uma verificação intuitiva com massas: suponha massa úmida 100 g (escolha conveniente). Com \mathrm{h}_{1}=6,0\% a massa de água é 6 g e a massa seca é 94 g. Então a umidade em relação à massa seca é 6/94, que é exatamente o valor calculado acima. Isso confirma que o resultado está coerente.

Resposta

6,383\% (aproximadamente)

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