No terceiro dia, o engenheiro trouxe um umidímetro (Speedy). Mediu a umidade da areia com esse equipamento achando
. O índice 1 para a umidade significa que o conceito de umidade é massa da água em relação à massa úmida do agregado. Já se sabe que, em geral, na Engenharia Civil a umidade é calculada em relação à massa seca do material. Qual a umidade da areia usando-se este último conceito?
Passo 1
O enunciado dá o valor da umidade medida pelo umidímetro como
. Foi informado que o índice 1 significa que essa umidade é dada pelo quociente entre a massa da água e a massa úmida (massa total: água + sólido). O que o problema pede é a umidade da areia no conceito usual da Engenharia Civil, isto é, a umidade em relação à massa seca do material.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
(definida como massa da água dividida pela massa úmida).
Queremos (umidade em relação à massa seca), definida como massa da água dividida pela massa seca.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Queremos
Passo 2
Definimos variáveis claras para não nos embolar:
Seja a massa da água e
a massa seca (massa dos sólidos). A massa úmida (massa total) é
.
A umidade medida pelo aparelho (índice 1) é
Seja
A umidade medida pelo aparelho (índice 1) é
A umidade que queremos (convencional na Engenharia Civil) é
Aqui:
e
são grandezas adimensionais (frações); para passar a porcentagem multiplicamos por
.
Passo 3
Vamos relacionar
e
. Observe que
, porque
. Substituindo em
temos:
Portanto a relação entre as duas definições é
.
Passo 4
Agora resolvemos essa equação para
. Partimos de
Multiplicamos ambos os lados por
:
Expandindo:
Isolando os termos com
num lado:
Então:
Essa é a fórmula de conversão: dado
(fração), obtemos
.
Passo 5
Aplicamos numericamente com
(transformando a porcentagem em fração):
Passo 6
Fazendo a divisão manual (mostro o cálculo para você poder reproduzir na prova sem calculadora):
Podemos escrever multiplicando numerador e denominador por
. Agora dividimos
por
. Uma forma rápida é reconhecer que
, então o quociente será pouco maior que
. Calculando exatamente:
Podemos escrever
Ou seja, em porcentagem:
Passo 7
Se preferir uma verificação intuitiva com massas: suponha massa úmida
g (escolha conveniente). Com
a massa de água é
g e a massa seca é
g. Então a umidade em relação à massa seca é
, que é exatamente o valor calculado acima. Isso confirma que o resultado está coerente.