Um comprador em potencial entra numa loja de carros a cada hora. Um vendedor tem probabilidade de 0,35 de vender um carro independentemente. O vendedor decide trabalhar até conseguir vender um carro.
Qual é o número médio de horas e a variância do número de horas que o vendedor tenha que trabalhar para conseguir vender 1 carro?
Qual é o número médio de horas e a variância do número de horas que o vendedor tenha que trabalhar para conseguir vender 1 carro?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um vendedor de carros que tem uma certa probabilidade de vender um carro a cada hora que um comprador aparece na loja. A gente precisa descobrir, em média, quantas horas ele vai trabalhar até vender um carro e qual é a variância desse tempo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Distribuição Geométrica, que lida exatamente com situações onde estamos procurando o número de tentativas até o primeiro sucesso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a probabilidade de sucesso em cada tentativa. No caso, a probabilidade de vender um carro em uma hora é de 0,35. Isso significa que em cada hora, o vendedor tem 35% de chance de fazer uma venda.
Passo 3
A distribuição geométrica nos dá duas coisas importantes: o valor esperado (ou média) e a variância do número de tentativas necessárias para o primeiro sucesso. No nosso caso, as “tentativas” são as horas de trabalho até a primeira venda.
Passo 4
Agora, vamos calcular a média usando a fórmula da distribuição geométrica:
Onde
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa. Substituindo
:
Então, em média, o vendedor vai precisar trabalhar cerca de 2,857 horas para vender um carro.
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a variância usando a fórmula da distribuição geométrica:
Substituindo novamente
:
Então, a variância do número de horas que o vendedor trabalha até vender um carro é de aproximadamente 5,306 horas².
Resposta
Em média, o vendedor precisará trabalhar aproximadamente 2,857 horas para vender um carro, e a variância desse tempo é de cerca de 5,306 horas².