O comprimento de onda associado a um átomo de hélio de um feixe que foi difratado por um cristal é igual a 0,60 \AA. Determine: (Dados: m_{H e}=4,0043 u.a.)
A velocidade dos átomos de hélio;

Passo 1

O enunciado fornece o comprimento de onda associado a átomos de hélio que foram difratados por um cristal e pede a velocidade desses átomos. Informações e pedido listados claramente:
  • Comprimento de onda: \lambda=0,60\\ \text{\AA}.
  • Massa do átomo de hélio: m_{He}=4,0043 u.a. (unidades atômicas de massa).
  • Pergunta: determinar a velocidade dos átomos de hélio.

Passo 2

Converter as unidades para o SI (metros e quilograma), porque as fórmulas que vamos usar exigem essas unidades.
  • Primeiro convertir o comprimento de onda: 1\\ \text{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}. Logo,
\lambda = 0,60\\ \text{\AA} = 0,60\times10^{-10}\\ \mathrm{m} = 6,0\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
  • Converter a massa atômica para quilogramas usando 1\\ \text{u}=1,66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}. Então
m = 4,0043\times\left(1,66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}\right).
Agora calculamos esse produto passo a passo:
m \approx 6,649296584\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
(Arredondei o resultado da multiplicação mantendo dígitos suficientes para a conta posterior.)

Passo 3

Apresentar a relação física que conecta comprimento de onda e velocidade: a relação de De Broglie.
  • A relação de De Broglie diz que o comprimento de onda associado a uma partícula é
\lambda = \frac{h}{p},
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda,
  • h é a constante de Planck,
  • p é o momento linear da partícula (quantidade de movimento).
  • A constante de Planck vale h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • Como estamos tratando de átomos não-relativísticos aqui (vamos verificar depois que a velocidade obtida é bem menor que a velocidade da luz), podemos usar a relação clássica entre momento e velocidade:
p = m\,v,
onde m é a massa e v a velocidade que queremos encontrar.

Passo 4

Isolar a velocidade a partir das fórmulas. Substituindo p=m\,v em \lambda = h/p obtemos
\lambda = \frac{h}{m\,v}\quad\Rightarrow\quad v = \frac{h}{m\,\lambda}.
Aqui:
  • v é a velocidade procurada,
  • h é a constante de Planck,
  • m e \lambda já foram convertidos para o SI nos passos anteriores.

Passo 5

Calcular numericamente o momento intermediário p (opcional, mas ajuda a entender) e em seguida a velocidade.
  • Primeiro o momento usando p=h/\lambda:
p = \frac{6,62607015\times10^{-34}}{6,0\times10^{-11}}\\ \mathrm{kg\,m/s} = 1,104345025\times10^{-23}\\ \mathrm{kg\,m/s}.
  • Agora a velocidade usando v=p/m:
v = \frac{1,104345025\times10^{-23}}{6,649296584\times10^{-27}}\\ \mathrm{m/s}.
Fazendo a divisão:
v \approx 1,660845\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Verificar consistência física e arredondamento final.
  • Comparação com a velocidade da luz: c\approx3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}. O quociente v/c é da ordem de 10^{-5}, ou seja, muito pequeno — portanto a aproximação não-relativística ( p=mv) é válida.
  • Arredondando para três algarismos significativos (coerente com os dados iniciais), temos
v \approx 1,66\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

v=1,66\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}

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