Se um corpo com 1 kg de massa fosse localizado cuidadosa e precisamente dentro de
(aproximadamente aquilo que podemos obter utilizando métodos ópticos) com que incerteza poderia dizer que o objeto está em repouso? O que você pode dizer quanto à precisão nas medidas dos aparelhos (isto é, os seus equipamentos mediriam tal incerteza na velocidade)? E se temos um elétron encerrado numa cavidade (potencial) de
de largura. Qual seria a incerteza na sua velocidade?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais:
- Para um corpo de massa
localizado com precisão de , determinar a incerteza na sua velocidade. - Dizer se aparelhos reais conseguiriam medir essa incerteza (ou seja, comentar sobre a precisão dos instrumentos).
- Para um elétron confinado numa cavidade de largura
, determinar a incerteza na sua velocidade.
Informações e conversões dadas (vou listá‑las explicitamente):
- Localização do corpo macroscópico:
. Tomarei a incerteza de posição como . -
. Assim . - Massa do corpo macroscópico:
. - Largura da cavidade para o elétron:
. Tomarei para o elétron. - Massa do elétron:
. - Constante de Planck reduzida:
.
A partir daqui vamos calcular as incertezas usando a relação de incerteza de Heisenberg e transformar em incerteza de velocidade.
Passo 2
Apresento a relação de incerteza de Heisenberg que vamos usar e explico cada símbolo:
-
é a incerteza na posição (em metros). -
é a incerteza no momento linear (em ). -
é a constante de Planck reduzida, , com valor numérico dado acima.
Essa é uma desigualdade fundamental da mecânica quântica: não é possível reduzir simultaneamentee a zero; o produto tem um limite inferior . Para estimativas de ordem de grandeza usamos a igualdade mínima:
Passo 3
Relacionamos
com a incerteza de velocidade
. Para partículas não relativísticas (válido aqui), o momento é
, logo uma incerteza de momento
corresponde a
Substituindo na desigualdade de Heisenberg e isolando
obtemos a estimativa mínima:
Explico: essa fórmula dá a menor incerteza de velocidade compatível com a incerteza de posição dada. É uma incerteza quântica, não um erro de medição — mas ela representa um limite fundamental.
Passo 4
Agora aplico a fórmula ao caso do corpo de
.
Dados:
Dados:
Substituindo em
temos
Faço a divisão:
Arredondando de modo conveniente:
Passo 5
Interpretação física para o caso do corpo macroscópico:
- O valor
é absurdamente pequeno. Em termos práticos isso significa que, mesmo estando localizado com precisão de , a incerteza quântica mínima na velocidade de um objeto de é praticamente zero para qualquer propósito experimental macroscópico. - Quanto aos aparelhos: nenhum equipamento real conseguiria medir tal incerteza. Existem várias razões: ruído térmico, vibrações ambientais, limitações de detecção e limitações fundamentais de instrumentos. A sensibilidade experimental típica (mesmo em medições altamente avançadas) está muitas ordens de magnitude acima de
. Portanto essa incerteza quântica é irrelevante para objetos macroscópicos — a mecânica quântica permite esse valor muito pequeno, mas a detecção é impossível com tecnologia prática.
Passo 6
Agora faço o cálculo para o elétron confinado numa cavidade de largura
.
Dados:
Dados:
Usando a mesma fórmula
substituo os números:
Calculo o denominador:
Agora a divisão:
Portanto
Passo 7
Interpretação física e comparação:
- Para o elétron a incerteza de velocidade
é grande em termos humanos, mas está bem dentro da escala típica de velocidades eletrônicas (por exemplo, elétrons em átomos têm velocidades na casa de a ). Portanto a incerteza quântica aqui é fisicamente relevante e mensurável indiretamente (por exemplo, através de quantização de energia, espectroscopia, ou medidas de momento em experimentos de espalhamento). - Podemos também estimar a incerteza de energia associada (apenas para ter noção):
(ordem de ), o que é detectável em bons experimentos espectroscópicos. Logo, ao contrário do caso macroscópico, as incertezas quânticas para partículas leves confinadas são relevantes e podem afetar medições.
Resposta
Equipamentos atuais não conseguiriam medir essa incerteza; ela é muito, muito menor que qualquer sensibilidade prática (portanto indetectável na prática).