Qual o comprimento de onda das radiações eletromagnética que apresentam freqüências de 6,4 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} e 5,15 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • São fornecidas duas frequências:
    • \displaystyle f_1 = 6{,}4\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
    • \displaystyle f_2 = 5{,}15\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
  • Pede-se o comprimento de onda correspondente a cada frequência (ou seja, achar \lambda_1 e \lambda_2 em metros; é comum também apresentar em nanômetros \mathrm{(nm)}).

Passo 2

Apresentar a relação física e a fórmula que vamos usar.
  • Para ondas eletromagnéticas no vácuo vale a relação
c=\lambda f,
onde:
  • \displaystyle c é a velocidade da luz no vácuo (unidade: \mathrm{m/s}),
  • \displaystyle \lambda é o comprimento de onda (unidade: \mathrm{m}),
  • \displaystyle f é a frequência (unidade: \mathrm{Hz}).
  • Isolando \lambda temos a fórmula que usaremos:
\lambda=\frac{c}{f}.
Explicação curta e intuitiva: a frequência diz quantos ciclos a onda faz por segundo; a cada ciclo a onda “avança” uma distância igual ao comprimento de onda \lambda. Multiplicando \lambda por f obtemos a distância percorrida por segundo, que é a velocidade c.

Passo 3

Definir o valor numérico de \displaystyle c e preparar para calcular.
  • Para cálculos em provas costuma-se usar
c = 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
valor com três algarismos significativos compatível com dados do enunciado. Vamos usar esse c.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda correspondente a \displaystyle f_1.
  • Aplicando \displaystyle \lambda_1=\dfrac{c}{f_1} e substituindo os valores:
\lambda_1=\frac{3{,}00\times10^{8}}{6{,}4\times10^{14}}\\ \mathrm{m}.
  • Fazer a divisão separando mantissas e potências de dez:
\lambda_1=\left(\frac{3{,}00}{6{,}4}\right)\times10^{8-14}\\ \mathrm{m} =\left(0{,}46875\right)\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Escrever em notação padrão:
\lambda_1=4{,}6875\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando para três algarismos significativos (compatível com os dados):
\lambda_1 \approx 4{,}69\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Converter para nanômetros ( 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}):
\lambda_1 \approx 4{,}69\times10^{-7}\times10^{9}\\ \mathrm{nm}=4{,}69\times10^{2}\\ \mathrm{nm}=469\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Calcular o comprimento de onda correspondente a \displaystyle f_2.
  • Aplicando \displaystyle \lambda_2=\dfrac{c}{f_2}:
\lambda_2=\frac{3{,}00\times10^{8}}{5{,}15\times10^{14}}\\ \mathrm{m}.
  • Separando mantissas e potências:
\lambda_2=\left(\frac{3{,}00}{5{,}15}\right)\times10^{8-14}\\ \mathrm{m} =\left(0{,}582524\ldots\right)\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Notação padrão:
\lambda_2=5{,}82524\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando para três algarismos significativos:
\lambda_2 \approx 5{,}83\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Converter para nanômetros:
\lambda_2 \approx 5{,}83\times10^{-7}\times10^{9}\\ \mathrm{nm}=5{,}83\times10^{2}\\ \mathrm{nm}=583\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Comentário didático rápido (para você fixar): comprimentos de onda de \displaystyle 469\\ \mathrm{nm} e \displaystyle 583\\ \mathrm{nm} estão na faixa visível — aproximadamente azul/verde para 469\\ \mathrm{nm} e amarelo/laranja para 583\\ \mathrm{nm}. Isso ajuda a conferir se os números fazem sentido.

Resposta

\lambda_1 \approx 4{,}69\times10^{-7}\\ \mathrm{m} = 469\\ \mathrm{nm}
\lambda_2 \approx 5{,}83\times10^{-7}\\ \mathrm{m} = 583\\ \mathrm{nm}

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