Compute as integrais:
\int_{0}^{1} \frac{x^{3}+x^{2}-12 x+1}{x^{2}+x-12} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x^{3}+x^{2}-12 x+1}{x^{2}+x-12}\,dx.
Informações dadas no enunciado que vamos usar:
  • O integrando é a razão entre um polinômio de grau 3 no numerador e um polinômio de grau 2 no denominador.
  • Os limites de integração são 0 e 1.
Nenhuma figura ou dado externo é necessário. A tarefa é calcular essa integral definida exatamente.

Passo 2

Primeiro passo técnico: reduzir a fração quando o numerador tem grau maior que o denominador, fazendo divisão de polinômios (divisão polinomial). Isso facilita porque nos dá uma parte polinomial simples mais uma fração com grau do numerador menor que o do denominador.
Vamos dividir
x^{3}+x^{2}-12x+1
por
x^{2}+x-12.
Fazendo a divisão: o termo líder x^{3} dividido por x^{2} x. Multiplicamos o divisor por x:
x\cdot(x^{2}+x-12)=x^{3}+x^{2}-12x.
Subtraindo esse produto do numerador:
(x^{3}+x^{2}-12x+1)-(x^{3}+x^{2}-12x)=1.
Portanto o quociente é x e o resto é 1. Logo
\frac{x^{3}+x^{2}-12x+1}{x^{2}+x-12}=x+\frac{1}{x^{2}+x-12}.
Essa é uma ideia importante: quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, faça divisão para separar um polinômio (fácil de integrar) e uma fração própria.

Passo 3

Substituindo na integral obtemos
\int_{0}^{1}\frac{x^{3}+x^{2}-12x+1}{x^{2}+x-12}\,dx =\int_{0}^{1}\left(x+\frac{1}{x^{2}+x-12}\right)dx.
Separando:
\int_{0}^{1}x\,dx+\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}+x-12}\,dx.
A primeira integral é trivial: usar \int x\,dx=\tfrac{1}{2}x^{2}. Então
\int_{0}^{1}x\,dx=\left.\tfrac{1}{2}x^{2}\right|_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}.
Agora precisamos calcular \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}+x-12}\,dx.

Passo 4

Para integrar \displaystyle\frac{1}{x^{2}+x-12}, fatoramos o denominador (se possível), porque isso permite decompor em frações simples (partial fractions). O denominador é um quadrático:
x^{2}+x-12=(x+4)(x-3),
pois (-3)\cdot 4=-12 e (-3)+4=1.
Queremos escrever
\frac{1}{x^{2}+x-12}=\frac{1}{(x-3)(x+4)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+4},
onde A e B são constantes a determinar.
Multiplicando por (x-3)(x+4):
1=A(x+4)+B(x-3).
Escolhemos valores fáceis para x: se x=3 obtemos 1=A(7) então A=\tfrac{1}{7}. Se x=-4 obtemos 1=B(-7) então B=-\tfrac{1}{7}.
Portanto
\frac{1}{x^{2}+x-12}=\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{x-3}-\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{x+4}=\frac{1}{7}\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+4}\right).

Passo 5

Agora integramos a decomposição. Lembre que
\int\frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C,
essa é a fórmula básica (a integral de 1/(x-a) é o logaritmo natural do módulo).
Assim
\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}+x-12}\,dx=\frac{1}{7}\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+4}\right)dx.
Integrando termo a termo:
\frac{1}{7}\left[\ln|x-3|-\ln|x+4|\right]_{0}^{1}.
Avaliamo-nos nos limites. Para x=1:
\ln|1-3|-\ln|1+4|=\ln|{-2}|-\ln 5=\ln 2-\ln 5=\ln\left(\frac{2}{5}\right).
Para x=0:
\ln|0-3|-\ln|0+4|=\ln 3-\ln 4=\ln\left(\frac{3}{4}\right).
Subtraindo (valor em 1 menos valor em 0):
\frac{1}{7}\left(\ln\left(\frac{2}{5}\right)-\ln\left(\frac{3}{4}\right)\right) =\frac{1}{7}\ln\left(\frac{2/5}{3/4}\right) =\frac{1}{7}\ln\left(\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{3}\right) =\frac{1}{7}\ln\left(\frac{8}{15}\right).

Passo 6

Somando a contribuição da primeira integral ( \tfrac{1}{2}) com a da segunda obtida:
\int_{0}^{1}\frac{x^{3}+x^{2}-12x+1}{x^{2}+x-12}\,dx =\tfrac{1}{2}+\frac{1}{7}\ln\left(\frac{8}{15}\right).

Resposta

\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{7}\ln\!\left(\dfrac{8}{15}\right)

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