Compute as integrais: \int \frac{-4 x+3 x^{2}+5}{x^{3}-x^{2}+x-1} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{-4 x+3 x^{2}+5}{x^{3}-x^{2}+x-1}\,dx.
Informações relevantes dadas no enunciado:
O integrando é a função racional \dfrac{-4 x+3 x^{2}+5}{x^{3}-x^{2}+x-1}.
O numerador é um polinômio de grau 2 e o denominador é um polinômio de grau 3.
Não há indicação de método obrigatório no enunciado; iremos trabalhar a integral diretamente.
Passo 2
Primeiro passo de análise: fatorar o denominador, porque integrais de racionais costumam simplificar com frações parciais quando o denominador é fatorável. Vamos tentar fatorar por agrupamento:
onde A, B e C são constantes a determinar. Explico por que essa forma: para cada fator linear distinto usamos uma constante sobre ele (aqui A/(x-1)) e para um fator quadrático irreduzível usamos um numerador linear Bx+C sobre ele.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^{2}+1) obtemos uma identidade polinomial:
-4 x+3 x^{2}+5 = A(x^{2}+1)+(B x+C)(x-1).
Vamos desenvolver o lado direito para identificar coeficientes.
Passo 5
Expandindo:
A(x^{2}+1)=A x^{2}+A,
(B x+C)(x-1)=B x^{2}+C x - B x - C = B x^{2}+(C-B)x - C.