Compute as integrais:
\int \frac{-4 x+3 x^{2}+5}{x^{3}-x^{2}+x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{-4 x+3 x^{2}+5}{x^{3}-x^{2}+x-1}\,dx.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • O integrando é a função racional \dfrac{-4 x+3 x^{2}+5}{x^{3}-x^{2}+x-1}.
  • O numerador é um polinômio de grau 2 e o denominador é um polinômio de grau 3.
  • Não há indicação de método obrigatório no enunciado; iremos trabalhar a integral diretamente.

Passo 2

Primeiro passo de análise: fatorar o denominador, porque integrais de racionais costumam simplificar com frações parciais quando o denominador é fatorável. Vamos tentar fatorar por agrupamento:
x^{3}-x^{2}+x-1 = x^{2}(x-1)+(x-1)=(x-1)(x^{2}+1).
Portanto o denominador se escreve como produto de um fator linear (x-1) e um quadrático irreduzível sobre os reais (x^{2}+1).

Passo 3

Como o denominador já é fatorado e o grau do numerador é menor que o do denominador, podemos aplicar a decomposição em frações parciais da forma
\frac{-4 x+3 x^{2}+5}{(x-1)(x^{2}+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B x+C}{x^{2}+1},
onde A, B e C são constantes a determinar. Explico por que essa forma: para cada fator linear distinto usamos uma constante sobre ele (aqui A/(x-1)) e para um fator quadrático irreduzível usamos um numerador linear Bx+C sobre ele.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^{2}+1) obtemos uma identidade polinomial:
-4 x+3 x^{2}+5 = A(x^{2}+1)+(B x+C)(x-1).
Vamos desenvolver o lado direito para identificar coeficientes.

Passo 5

Expandindo:
A(x^{2}+1)=A x^{2}+A,
(B x+C)(x-1)=B x^{2}+C x - B x - C = B x^{2}+(C-B)x - C.
Somando:
A(x^{2}+1)+(B x+C)(x-1) = (A+B)x^{2}+(C-B)x+(A-C).
Comparando com o polinômio do lado esquerdo -4 x+3 x^{2}+5, obtemos o sistema de equações para os coeficientes:
\begin{cases} A+B = 3,\\[4pt] C-B = -4,\\[4pt] A-C = 5. \end{cases}]

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo. Da terceira equação temos
C = A-5.
Substituindo na segunda equação:
(A-5)-B = -4 \quad\Rightarrow\quad A-B = 1 \quad\Rightarrow\quad B = A-1.
Substituindo B na primeira equação:
A + (A-1) = 3 \quad\Rightarrow\quad 2A -1 =3 \quad\Rightarrow\quad 2A =4 \quad\Rightarrow\quad A =2.
Com A=2 vem
B = A-1 = 1,
C = A-5 = 2-5 = -3.
Logo a decomposição é
\frac{-4 x+3 x^{2}+5}{(x-1)(x^{2}+1)}=\frac{2}{x-1}+\frac{x-3}{x^{2}+1}.

Passo 7

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{2}{x-1}\,dx + \int \frac{x-3}{x^{2}+1}\,dx.
Trabalhemos cada integral separadamente.
  1. Para \displaystyle \int \frac{2}{x-1}\,dx: é uma integral de função da forma \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C. Assim
\int \frac{2}{x-1}\,dx = 2\ln\!\left|x-1\right| + C_1.
  1. Para \displaystyle \int \frac{x-3}{x^{2}+1}\,dx separamos em duas integrais:
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx \quad\text{e}\quad -3\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
  • Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx fazemos a substituição u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx, isto é x\,dx=\dfrac{du}{2}. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \int \frac{1}{2}\frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln(u)+C_2 = \frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+C_2.
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx lembramos que a primitiva é a função arco-tangente:
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x)+C_3.
Multiplicando pelo fator -3 obtemos -3\arctan(x).

Passo 8

Somando todas as partes (e aglutinando as constantes de integração em uma só constante C) obtemos a primitiva completa:
2\ln\!\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)-3\arctan(x)+C.

Resposta

2\ln\!\left|x-1\right|+\frac{1}{2}\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)-3\arctan(x)+C

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