1. Conceitue \mathrm{N}_{\mathrm{po}} e seu significado físico. Demonstre-o matematicamente e como se interpreta seu gráfico adimensional em função do número de Reynolds.

Passo 1

O enunciado pede que a gente defina o número de Poiseuille, N_{Po}, explique o seu significado físico, mostre a sua forma matemática e diga como interpretar o gráfico de N_{Po} em função do número de Reynolds, \mathrm{Re}. O conteúdo envolve mecânica dos fluidos, escoamento interno em tubos, fator de atrito e números adimensionais.

Passo 2

Em escoamento totalmente desenvolvido num tubo circular usamos a equação de Darcy–Weisbach para a perda de carga:
\frac{\Delta p}{L} \;=\;\frac{f_D\,\rho\,V^2}{2\,D},
onde \Delta p/L é o gradiente de pressão, f_D é o fator de atrito de Darcy, \rho é a densidade, V a velocidade média e D o diâmetro do tubo. Definimos o número de Reynolds como
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,V\,D}{\mu}.

Passo 3

Multiplicando a equação de Darcy–Weisbach por \mathrm{Re} e reorganizando, obtemos o número de Poiseuille:
N_{Po} \;=\; f_D\,\mathrm{Re}.
Fisicamente, N_{Po} é a “perda de carga adimensionalizada” que relaciona as forças de atrito (viscosas) ao efeito inercial. Como é adimensional, serve para comparar regimes de escoamento sem depender das unidades.

Passo 4

No regime laminar em tubo circular f_D = 64/\mathrm{Re}. Logo,
N_{Po} = f_D\,\mathrm{Re} = \frac{64}{\mathrm{Re}}\;\mathrm{Re} = 64.
Isso mostra que, para \mathrm{Re}\lesssim2300, o número de Poiseuille é constante e igual a 64.

Passo 5

Quando \mathrm{Re} ultrapassa o valor crítico, o escoamento entra em transição e, em seguida, em regime turbulento. Nesse caso f_D não mais segue 64/\mathrm{Re} mas depende também da rugosidade relativa e de \mathrm{Re} segundo a equação de Colebrook–White. Aí
N_{Po}(\mathrm{Re}) = f_D(\mathrm{Re})\,\mathrm{Re}
passa a crescer aproximadamente como uma potência de \mathrm{Re} (por ex. N_{Po}\sim 0,316\,\mathrm{Re}^{0,75} para escoamento turbulento em tubo liso). No gráfico adimensional N_{Po}\times \mathrm{Re}:
- Para \mathrm{Re}<2300: reta horizontal em N_{Po}=64.
- Para 2300<\mathrm{Re}<10^4: zona de transição com subida de N_{Po}.
- Para \mathrm{Re}\gg10^4: regime turbulento totalmente desenvolvido, N_{Po} cresce com \mathrm{Re}^{0,7\text{--}0,8} e, em tubos ásperos, atinge platô dependente só da rugosidade.

Resposta

O número de Poiseuille é definido por
N_{Po}=f_D\,\mathrm{Re},
onde f_D é o fator de atrito de Darcy e \mathrm{Re} o número de Reynolds. Fisicamente, ele é a perda de carga adimensional, medindo a razão entre efeitos de atrito viscoso e efeitos inerciais. Matematicamente, no regime laminar N_{Po}=64 (constante) e, no regime turbulento, N_{Po} cresce com \mathrm{Re} segundo a equação de Colebrook–White, o que se reflete num gráfico que vai de uma reta horizontal ( \mathrm{Re}<2300) para uma curva crescente ( \mathrm{Re}>2300) até um possível platô em escoamentos completamente rugosos.

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