- Conceitue
e seu significado físico. Demonstre-o matematicamente e como se interpreta seu gráfico adimensional em função do número de Reynolds.
Passo 1
O enunciado pede que a gente defina o número de Poiseuille,
, explique o seu significado físico, mostre a sua forma matemática e diga como interpretar o gráfico de
em função do número de Reynolds,
. O conteúdo envolve mecânica dos fluidos, escoamento interno em tubos, fator de atrito e números adimensionais.
Passo 2
Em escoamento totalmente desenvolvido num tubo circular usamos a equação de Darcy–Weisbach para a perda de carga:
onde
é o gradiente de pressão,
é o fator de atrito de Darcy,
é a densidade,
a velocidade média e
o diâmetro do tubo. Definimos o número de Reynolds como
Passo 3
Multiplicando a equação de Darcy–Weisbach por
e reorganizando, obtemos o número de Poiseuille:
Fisicamente,
é a “perda de carga adimensionalizada” que relaciona as forças de atrito (viscosas) ao efeito inercial. Como é adimensional, serve para comparar regimes de escoamento sem depender das unidades.
Passo 4
No regime laminar em tubo circular
. Logo,
Isso mostra que, para
, o número de Poiseuille é constante e igual a
.
Passo 5
Quando
ultrapassa o valor crítico, o escoamento entra em transição e, em seguida, em regime turbulento. Nesse caso
não mais segue
mas depende também da rugosidade relativa e de
segundo a equação de Colebrook–White. Aí
passa a crescer aproximadamente como uma potência de
(por ex.
para escoamento turbulento em tubo liso). No gráfico adimensional
:
- Para : reta horizontal em
.
- Para : zona de transição com subida de
.
- Para : regime turbulento totalmente desenvolvido,
cresce com
e, em tubos ásperos, atinge platô dependente só da rugosidade.
- Para
- Para
- Para
Resposta
O número de Poiseuille é definido por
onde
é o fator de atrito de Darcy e
o número de Reynolds. Fisicamente, ele é a perda de carga adimensional, medindo a razão entre efeitos de atrito viscoso e efeitos inerciais. Matematicamente, no regime laminar
(constante) e, no regime turbulento,
cresce com
segundo a equação de Colebrook–White, o que se reflete num gráfico que vai de uma reta horizontal (
) para uma curva crescente (
) até um possível platô em escoamentos completamente rugosos.