Conceitue os seguintes tipos de média:
III. Média Harmônica

Passo 1

O enunciado pede que eu conceitue a “Média Harmônica”.
Informações implícitas que vou usar: devo dar a definição matemática clara, explicar o que cada símbolo significa, mostrar interpretação prática, dar exemplos numéricos passo a passo e comentar propriedades importantes (quando se usa, restrições, relação com outras médias).

Passo 2

Definição formal (fórmula):
A média harmônica de n números positivos x_{1},x_{2},\dots,x_{n} é
H \;=\; \frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}}.
Explicação dos símbolos: n é a quantidade de valores; cada x_{i} é um dos valores que estamos média; \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}} significa “somar todas as inversas” \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}}.

Passo 3

Outra forma equivalente e às vezes mais intuitiva: a média harmônica é o inverso da média aritmética das inversas. Ou seja,
H \;=\; \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}\right)^{-1}.
Interpretação prática: a média harmônica dá mais peso aos valores pequenos porque trabalhar com inversos amplifica números pequenos. Por isso é a média correta quando se quer média de taxas como velocidades em trechos de mesma distância, ou em situações onde a média deve refletir “média por unidade” (ex.: preço por unidade quando unidades variam).

Passo 4

Exemplo prático passo a passo (média harmônica de duas velocidades):
Suponha que você percorre duas etapas de mesma distância: a primeira a 60 km/h e a segunda a 40 km/h. Qual a velocidade média total? Use média harmônica com n=2, x_{1}=60, x_{2}=40.
Calcule as inversas:
\frac{1}{x_{1}}=\frac{1}{60},\qquad \frac{1}{x_{2}}=\frac{1}{40}.
Some as inversas:
\frac{1}{60}+\frac{1}{40}=\frac{2+3}{120}=\frac{5}{120}=\frac{1}{24}.
Aplique a fórmula:
H=\frac{2}{\displaystyle\frac{1}{24}}=2\cdot 24 = 48.
Resultado: a velocidade média é 48 km/h. Observação: esse resultado não é a média aritmética (60+40)/2=50; como eu disse, a média harmônica penaliza mais o trecho mais lento.

Passo 5

Exemplo numérico simples de cálculo direto: calcule a média harmônica de 2,3,6. Aqui n=3.
Calcule as inversas e some:
\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3+2+1}{6}=\frac{6}{6}=1.
Aplique a fórmula:
H=\frac{3}{1}=3.
Resultado: a média harmônica é 3 (curioso que aqui coincide com a média aritmética, isso acontece porque as inversas somaram exatamente 1).

Passo 6

Condições, limitações e quando NÃO usar:
  • É obrigatório ter x_{i}>0 para todos os i (se x_{i}=0 a fórmula não faz sentido; se houver sinais diferentes também complica).
  • Use quando os dados representam taxas por unidade homogênea (velocidade por mesmo percurso, preço por mesma quantidade, etc.).
  • Evite quando os valores aparecem como “somas diretas” que não passam por uma razão/recíproca.

Passo 7

Propriedades úteis e comparação com outras médias:
  • A média harmônica é sempre menor ou igual à média geométrica, que por sua vez é menor ou igual à média aritmética, para números positivos:
H \le G \le A.
  • Igualdade H=G=A ocorre exatamente quando todos os x_{i} são iguais.
  • Forma ponderada (quando cada valor tem um peso w_{i}\ge 0): a média harmônica ponderada é
H_{w} \;=\; \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} w_{i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{w_{i}}{x_{i}}}.
Aqui \sum w_{i} é a soma dos pesos; se todos os pesos são iguais, volta à fórmula anterior.

Passo 8

Dicas rápidas para prova (pra você que está correndo tempo):
  • Lembre: “harmônica = inverso da média das inversas” — essa frase resolve a maioria.
  • Verifique sempre se todos os valores são positivos.
  • Em problemas de velocidade/duração com trechos de mesma distância, pense imediatamente em média harmônica.
  • Faça o cálculo das inversas com frações simples (use MMC quando necessário) para não precisar de calculadora.

Resposta

A média harmônica de n números positivos x_{1},\dots,x_{n} é
H=\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}},
equivalentemente H=\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_{i}}\right)^{-1}.

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