Conceitue os seguintes tipos de média:
III. Média Harmônica
III. Média Harmônica
Passo 1
O enunciado pede que eu conceitue a “Média Harmônica”.
Informações implícitas que vou usar: devo dar a definição matemática clara, explicar o que cada símbolo significa, mostrar interpretação prática, dar exemplos numéricos passo a passo e comentar propriedades importantes (quando se usa, restrições, relação com outras médias).
Informações implícitas que vou usar: devo dar a definição matemática clara, explicar o que cada símbolo significa, mostrar interpretação prática, dar exemplos numéricos passo a passo e comentar propriedades importantes (quando se usa, restrições, relação com outras médias).
Passo 2
Definição formal (fórmula):
A média harmônica de números positivos
é
A média harmônica de
Explicação dos símbolos:
é a quantidade de valores; cada
é um dos valores que estamos média;
significa “somar todas as inversas”
.
Passo 3
Outra forma equivalente e às vezes mais intuitiva: a média harmônica é o inverso da média aritmética das inversas. Ou seja,
Interpretação prática: a média harmônica dá mais peso aos valores pequenos porque trabalhar com inversos amplifica números pequenos. Por isso é a média correta quando se quer média de taxas como velocidades em trechos de mesma distância, ou em situações onde a média deve refletir “média por unidade” (ex.: preço por unidade quando unidades variam).
Passo 4
Exemplo prático passo a passo (média harmônica de duas velocidades):
Suponha que você percorre duas etapas de mesma distância: a primeira a km/h e a segunda a
km/h. Qual a velocidade média total? Use média harmônica com
,
,
.
Calcule as inversas:
Suponha que você percorre duas etapas de mesma distância: a primeira a
Calcule as inversas:
Some as inversas:
Aplique a fórmula:
Resultado: a velocidade média é
km/h. Observação: esse resultado não é a média aritmética
; como eu disse, a média harmônica penaliza mais o trecho mais lento.
Passo 5
Exemplo numérico simples de cálculo direto: calcule a média harmônica de
. Aqui
.
Calcule as inversas e some:
Calcule as inversas e some:
Aplique a fórmula:
Resultado: a média harmônica é
(curioso que aqui coincide com a média aritmética, isso acontece porque as inversas somaram exatamente
).
Passo 6
Condições, limitações e quando NÃO usar:
- É obrigatório ter
para todos os (se a fórmula não faz sentido; se houver sinais diferentes também complica). - Use quando os dados representam taxas por unidade homogênea (velocidade por mesmo percurso, preço por mesma quantidade, etc.).
- Evite quando os valores aparecem como “somas diretas” que não passam por uma razão/recíproca.
Passo 7
Propriedades úteis e comparação com outras médias:
- A média harmônica é sempre menor ou igual à média geométrica, que por sua vez é menor ou igual à média aritmética, para números positivos:
- Igualdade
ocorre exatamente quando todos os são iguais. - Forma ponderada (quando cada valor tem um peso
): a média harmônica ponderada é
Aqui
é a soma dos pesos; se todos os pesos são iguais, volta à fórmula anterior.
Passo 8
Dicas rápidas para prova (pra você que está correndo tempo):
- Lembre: “harmônica = inverso da média das inversas” — essa frase resolve a maioria.
- Verifique sempre se todos os valores são positivos.
- Em problemas de velocidade/duração com trechos de mesma distância, pense imediatamente em média harmônica.
- Faça o cálculo das inversas com frações simples (use MMC quando necessário) para não precisar de calculadora.
Resposta
A média harmônica de
números positivos
é
equivalentemente
.