(b) Qual é a concentração de ácido acético necessária para gerar uma concentração de espécies \left[\mathrm{H}^{+}\right] igual a 3.5 \times 10^{-4} ? Sabendo que o Ka deste ácido equivale a 1.75 \times 10^{-5} ? ( \mathbf{5 . 0} pontos)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a concentração inicial do ácido acético necessária para que a concentração de íons hidrogênio seja \left[\mathrm{H}^{+}\right]=3{,}5\times10^{-4}. As informações fornecidas são:
  • \left[\mathrm{H}^{+}\right]=3{,}5\times10^{-4} (concentração desejada de prótons).
  • Constante de acidez do ácido acético: K_a=1{,}75\times10^{-5}.
    A pergunta é: qual deve ser a concentração inicial do ácido acético (em mol·L^{-1}) para resultar nessa \left[\mathrm{H}^{+}\right].

Passo 2

Escrevendo a reação de ionização do ácido acético (denotado por \mathrm{HA}):
\mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H}^{+} + \mathrm{A}^{-}
Vou montar uma tabela de concentrações iniciais e em equilíbrio. Seja C a concentração inicial do ácido (o que queremos achar). Supondo que inicialmente não haja \mathrm{A}^{-} proveniente do ácido e que a contribuição de \mathrm{H}^{+} da autoionização da água é desprezível (vamos checar isso depois), então ao atingir o equilíbrio:
  • [\mathrm{HA}]_{\text{eq}} = C - x,
  • [\mathrm{H}^{+}]_{\text{eq}} = x,
  • [\mathrm{A}^{-}]_{\text{eq}} = x,
    onde x é a quantidade ionizada do ácido. No problema foi dado que x=\left[\mathrm{H}^{+}\right]=3{,}5\times10^{-4}.

Passo 3

A definição da constante de acidez K_a para essa reação é:
K_a = \frac{[\mathrm{H}^{+}][\mathrm{A}^{-}]}{[\mathrm{HA}]}
Substituindo as concentrações em equilíbrio:
K_a = \frac{x\cdot x}{C - x} = \frac{x^{2}}{C - x}.
Queremos isolar C. Multiplicando ambos os lados por C-x:
K_a (C - x) = x^{2}.
Expandindo e isolando C:
K_a C - K_a x = x^{2}\quad\Rightarrow\quad K_a C = x^{2} + K_a x.
Portanto
C = x + \frac{x^{2}}{K_a}.
Esta fórmula tem sentido físico: a concentração inicial é a soma da concentração que ficou ionizada ( x) mais a quantidade que permaneceu não ionizada (expressa pelo termo \dfrac{x^{2}}{K_a} vindo da lei de equilíbrio). Aqui cada símbolo significa:
  • C: concentração inicial do ácido (mol·L^{-1}), incógnita.
  • x: concentração de \mathrm{H}^{+} em equilíbrio (mol·L^{-1}), dado.
  • K_a: constante de acidez (adimensional em termos de concentração), dado.

Passo 4

Agora substituo os valores numéricos em notação científica e faço as contas passo a passo. Primeiro calculo x^{2}:
x = 3{,}5\times10^{-4}\quad\Rightarrow\quad x^{2} = (3{,}5\times10^{-4})^{2} = 12{,}25\times10^{-8} = 1{,}225\times10^{-7}.
Em seguida calculo o quociente \dfrac{x^{2}}{K_a}:
\frac{x^{2}}{K_a} = \frac{1{,}225\times10^{-7}}{1{,}75\times10^{-5}}.
Faço a divisão separando mantissas e potências de dez:
\frac{1{,}225}{1{,}75} \times 10^{-7-(-5)} = 0{,}7 \times 10^{-2} = 7{,}0\times10^{-3}.
Agora uso a fórmula C = x + \dfrac{x^{2}}{K_a}:
C = 3{,}5\times10^{-4} + 7{,}0\times10^{-3} = 7{,}35\times10^{-3}.
Em forma decimal isso é 0{,}00735\\ \text{mol·L}^{-1}.

Passo 5

Verificações e justificativas (para usar essa abordagem sem complicar a prova):
  • Checagem da contribuição da água: a autoionização da água dá [\mathrm{H}^{+}]_{\text{água}}\approx1\times10^{-7}á, que é muito menor que x=3{,}5\times10^{-4}. Logo essa contribuição é desprezível e a hipótese inicial está ok.
  • Checagem da aproximação C\gg x: o valor encontrado C=7{,}35\times10^{-3} e x=3{,}5\times10^{-4} mostram que x/C\approx0{,}0476 (ou seja, cerca de 4{,}76\% de ionização). Isso confirma que x é relativamente pequeno comparado a C, então a forma simplificada C\approx \dfrac{x^{2}}{K_a} daria C\approx7{,}0\times10^{-3}, muito próxima do valor exato 7{,}35\times10^{-3}. Na prova, se quiser ganhar tempo, pode usar essa aproximação quando x/C<5\% 10\%, mas é bom saber resolver exatamente como fizemos.

Passo 6

Resposta final arredondada com algarismos significativos razoáveis (os dados tinham 2–3 algarismos): tomo três algarismos significativos:
C = 7{,}35\times10^{-3}\\ \text{mol·L}^{-1}.
Força aí — você já tem o procedimento claro para problemas semelhantes: montar tabela, escrever K_a=\dfrac{x^{2}}{C-x}, isolar C e calcular. Dá pra fazer isso rapidinho na prova.

Resposta

7{,}35\times10^{-3}\\ \text{M}

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