A concentração de um produto ao longo de uma coluna de destilação varia com a altura z e o tempo t, modelada por:
C(z, t)=C_{0} e^{-a z} \cdot \operatorname{sen}(b t)
Onde C_{0}, a, b>0 são constantes.
Esboce o gráfico da função C(z, t) para um instante fixo t=t_{0};

Passo 1

O enunciado dá a função
C(z,t)=C_{0}e^{-a z}\cdot\operatorname{sen}(bt)
com C_{0},a,b>0. Pede-se: esboçar o gráfico de C(z,t) para um instante fixo t=t_{0}.
Informações relevantes e o que exatamente é pedido:
  • A variável de interesse no esboço será z (altura) com t preso em t_{0}.
  • As constantes C_{0},a,b são positivas, mas o valor de \operatorname{sen}(bt_{0}) pode ser positivo, negativo ou zero (depende de t_{0}).
  • Precisa-se desenhar a curva z\mapsto C(z,t_{0}) e identificar características importantes (valor inicial em z=0, comportamento quando z\to\infty, monotonicidade, sinal, etc.).

Passo 2

Reduza a expressão para o caso t=t_{0}. Defina a constante multiplicativa que surge ao fixar o tempo:
A := C_{0}\,\operatorname{sen}(bt_{0}).
Então, para t=t_{0} obtemos a função de z
C(z,t_{0}) = A\,e^{-a z}.
Aqui:
  • A é uma constante (dependente de t_{0}).
  • a>0 controla a rapidez da decaída exponencial em z.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • z é a variável independente (altura).
  • C(z,t_{0}) é a concentração no instante t_{0} como função de z.
  • A é a amplitude no topo ( z=0), que pode ser positivo, negativo ou zero dependendo de \operatorname{sen}(bt_{0}).

Passo 3

Determine pontos e limites importantes para guiar o esboço:
  • Valor em z=0:
C(0,t_{0}) = A.
  • Limite quando z\to\infty:
\lim_{z\to\infty} C(z,t_{0}) = \lim_{z\to\infty} A e^{-a z} = 0.
Logo, a assíntota horizontal é C=0.
  • Derivada em relação a z (para estudar monotonicidade):
\frac{\partial}{\partial z}C(z,t_{0}) = A\cdot(-a)e^{-a z} = -aA e^{-a z}.
Assim:
  • Se A>0, então \frac{\partial C}{\partial z}<0 para todo z: a função é monotonicamente decrescente.
  • Se A<0, então \frac{\partial C}{\partial z}>0 para todo z: a função é monotonicamente crescente (aumenta no sentido de valores menos negativos, tendendo a 0).
  • Se A=0, então C\equiv 0.
Concavidade (segunda derivada) para saber a curvatura:
\frac{\partial^{2}C}{\partial z^{2}} = a^{2}A e^{-a z}.
Portanto a concavidade tem o mesmo sinal de A.

Passo 4

Descreva e esboce (passo a passo de desenho) o caso A>0 ( \operatorname{sen}(bt_{0})>0):
  • Marque o eixo horizontal como z (com z\ge 0 se a altura começa em zero) e o eixo vertical como C.
  • No ponto z=0 coloque a altura C(0,t_{0})=A>0.
  • A partir desse ponto desenhe uma curva exponencial que decai rapidamente para a direita em direção à assíntota C=0.
  • A curva é sempre positiva, estritamente decrescente e convexa para cima (porque \frac{\partial^{2}C}{\partial z^{2}}>0).
  • A inclinação inicial (em z=0) é \left.\dfrac{\partial C}{\partial z}\right|_{z=0}=-aA (negativa, maior em magnitude quanto maiores forem a ou A).

Passo 5

Descreva e esboce o caso A<0 ( \operatorname{sen}(bt_{0})<0):
  • No ponto z=0 coloque C(0,t_{0})=A<0 (ponto abaixo do eixo C=0).
  • A partir daí desenhe uma curva exponencial que sobe (valores ficam menos negativos) em direção à assíntota C=0 quando z\to\infty.
  • A curva é sempre negativa, estritamente crescente e côncava para baixo (porque \frac{\partial^{2}C}{\partial z^{2}}<0).
  • A inclinação inicial é \left.\dfrac{\partial C}{\partial z}\right|_{z=0}=-aA, que agora é positiva (pois A<0).

Passo 6

Caso especial A=0 ( \operatorname{sen}(bt_{0})=0):
  • A função é identicamente zero para todo z: desenhe a reta horizontal C(z,t_{0})=0.
  • Isso ocorre quando bt_{0} é múltiplo de \pi.

Passo 7

Dicas práticas para o esboço rápido na prova (sem cálculo pesado):
  • Calcule A=C_{0}\operatorname{sen}(bt_{0}) numericamente (mesmo só o sinal já é suficiente).
  • Marque o ponto z=0 com valor A.
  • Marque a assíntota horizontal C=0.
  • Escolha um ponto adicional, por exemplo z=1/a, e calcule C(1/a,t_{0})=A e^{-1} para ter uma referência de quanto decai em uma unidade de comprimento característica 1/a.
  • Trace a curva exponencial suave ligando esses pontos, respeitando monotonicidade e concavidade já identificadas.

Resposta

A curva para t=t_{0} é C(z,t_{0})=A e^{-a z} com A=C_{0}\operatorname{sen}(bt_{0}).
  • Se C_{0}\operatorname{sen}(bt_{0})>0: gráfico é uma exponencial positiva decrescente a partir de C(0,t_{0})=A e com assíntota C=0.
  • Se C_{0}\operatorname{sen}(bt_{0})<0: gráfico é uma exponencial negativa crescente (aumentando em direção a 0) a partir de C(0,t_{0})=A<0 e com assíntota C=0.
  • Se C_{0}\operatorname{sen}(bt_{0})=0: gráfico é a reta C(z,t_{0})\equiv0.

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