1. Considere a esfera de centro na origem e raio a e o cilindro 4 x^{2}+4 y^{2}=a^{2}.
Esboce os sólidos e calcule o volume do cilindro limitado pela esfera.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Uma esfera de centro na origem e raio a. Logo a equação da esfera é \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}.
  • Um cilindro dado por \;4x^{2}+4y^{2}=a^{2}.
    O que a questão pede:
  • Esboçar os sólidos (descrever como são e como se intersectam).
  • Calcular o volume da parte do cilindro que fica limitada (contida) pela esfera, ou seja, o volume do sólido formado pela interseção do cilindro com a esfera.

Passo 2

Interpretação geométrica e esboço verbal (rápido):
  • A esfera tem centro na origem e raio a, é a bola de raio a centrada em (0,0,0).
  • A equação do cilindro pode ser simplificada. Dividindo por 4 obtemos
x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4}.
Isso é um cilindro circular reto de raio \dfrac{a}{2} cujo eixo é o eixo z.
Esboço mental: imagine um cilindro vertical, de raio \dfrac{a}{2}, atravessando uma esfera de raio a. A interseção é um “prisma” cilíndrico recortado pelas faces esféricas superior e inferior — ao longo de cada reta vertical dentro do cilindro, o sólido é limitado por z entre as duas interseções com a esfera.

Passo 3

Descrição do domínio para calcular o volume:
  • Em coordenadas cilíndricas (ou em projeção no plano xy), qualquer ponto dentro do cilindro satisfaz r\le \dfrac{a}{2}, onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Para um ponto com coordenada radial r fixa, a esfera dá as interseções em z satisfazendo
z^{2}=a^{2}-r^{2},
logo as alturas superior e inferior são
z=\pm\sqrt{a^{2}-r^{2}}.
  • Assim, a espessura vertical do sólido na posição radial r é
\text{altura}(r)=2\sqrt{a^{2}-r^{2}}.
  • O volume pode ser obtido integrando essa altura sobre a área da base do cilindro (a região no plano xy com r\le a/2):
V=\iint_{r\le a/2} 2\sqrt{a^{2}-r^{2}}\,dA.

Passo 4

Passagem para coordenadas polares (explicando as variáveis):
  • Em coordenadas polares no plano xy, usa-se x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Aqui r é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo polar.
  • O elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta.
  • Os limites são 0\le r\le \dfrac{a}{2} e 0\le\theta\le 2\pi.
  • Substituindo na integral obtemos a integral iterada
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{a/2} 2\sqrt{a^{2}-r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Cálculo da integral em r (detalhado, passo a passo):
  • Considere a integral interior
I=\int_{0}^{a/2} 2\sqrt{a^{2}-r^{2}}\; r\,dr.
  • Use a substituição \;u=a^{2}-r^{2}. Então \;du=-2r\,dr, ou seja \;r\,dr=-\dfrac{1}{2}du.
  • Quando r=0 tem-se u=a^{2}. Quando r=\dfrac{a}{2} tem-se u=a^{2}-\dfrac{a^{2}}{4}=\dfrac{3}{4}a^{2}.
  • Substituindo:
I=\int_{u=a^{2}}^{u=\tfrac{3}{4}a^{2}} 2\sqrt{u}\left(-\dfrac{1}{2}\,du\right)=-\int_{a^{2}}^{\tfrac{3}{4}a^{2}}\sqrt{u}\,du.
  • Invertendo os limites para tirar o sinal:
I=\int_{\tfrac{3}{4}a^{2}}^{a^{2}}\sqrt{u}\,du.
  • Calcule a integral de \sqrt{u}=u^{1/2}:
\int \sqrt{u}\,du=\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}.
  • Avaliando entre os limites:
I=\frac{2}{3}\bigl(a^{2}\bigr)^{3/2}-\frac{2}{3}\Bigl(\tfrac{3}{4}a^{2}\Bigr)^{3/2}.
  • Note que \bigl(a^{2}\bigr)^{3/2}=a^{3}. Então
I=\frac{2}{3}a^{3}-\frac{2}{3}\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{3/2}a^{3}=\frac{2}{3}a^{3}\Bigl[1-\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{3/2}\Bigr].

Passo 6

Integração em \theta e simplificação final:
  • A integral em \theta apenas multiplica por 2\pi:
V=\int_{0}^{2\pi} I\,d\theta = 2\pi \cdot I.
  • Substituindo I:
V=2\pi\cdot\frac{2}{3}a^{3}\Bigl[1-\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{3/2}\Bigr]=\frac{4\pi}{3}a^{3}\Bigl[1-\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{3/2}\Bigr].
  • Simplifique a potência fracionária: \Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{3/2}=\bigl(\sqrt{\tfrac{3}{4}}\bigr)^{3}=\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)^{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{8}.
  • Assim
V=\frac{4\pi}{3}a^{3}\Bigl(1-\frac{3\sqrt{3}}{8}\Bigr)=\frac{4\pi}{3}a^{3}\cdot\frac{8-3\sqrt{3}}{8}.
  • Reduzindo \dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2} obtemos a forma mais compacta
V=\frac{\pi a^{3}}{6}\bigl(8-3\sqrt{3}\bigr).

Passo 7

Comentário final e checagem rápida:
  • Dimensionalmente faz sentido: V é proporcional a a^{3}.
  • Para sanity check: se a aumenta, o volume cresce como a^{3}; o fator numérico \dfrac{\pi}{6}(8-3\sqrt{3}) é positivo (pois 3\sqrt{3}\approx5{,}196<8), logo V>0.
  • Pronto — este é o volume do cilindro com raio a/2 limitado pela esfera de raio a. Boa! Vai dar certo na prova — respira, revisa os passos da integração e lembra da substituição u=a^{2}-r^{2}.

Resposta

V=\frac{\pi a^{3}}{6}\bigl(8-3\sqrt{3}\bigr)

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