- Considere a esfera de centro na origem e raio
e o cilindro
.
Esboce os sólidos e calcule o volume do cilindro limitado pela esfera.
Passo 1
O enunciado fornece:
- Uma esfera de centro na origem e raio
. Logo a equação da esfera é . - Um cilindro dado por
.
O que a questão pede: - Esboçar os sólidos (descrever como são e como se intersectam).
- Calcular o volume da parte do cilindro que fica limitada (contida) pela esfera, ou seja, o volume do sólido formado pela interseção do cilindro com a esfera.
Passo 2
Interpretação geométrica e esboço verbal (rápido):
- A esfera tem centro na origem e raio
, é a bola de raio centrada em . - A equação do cilindro pode ser simplificada. Dividindo por
obtemos
Isso é um cilindro circular reto de raio
cujo eixo é o eixo
.
Esboço mental: imagine um cilindro vertical, de raio , atravessando uma esfera de raio
. A interseção é um “prisma” cilíndrico recortado pelas faces esféricas superior e inferior — ao longo de cada reta vertical dentro do cilindro, o sólido é limitado por
entre as duas interseções com a esfera.
Esboço mental: imagine um cilindro vertical, de raio
Passo 3
Descrição do domínio para calcular o volume:
- Em coordenadas cilíndricas (ou em projeção no plano
), qualquer ponto dentro do cilindro satisfaz , onde . - Para um ponto com coordenada radial
fixa, a esfera dá as interseções em satisfazendo
logo as alturas superior e inferior são
- Assim, a espessura vertical do sólido na posição radial
é
- O volume pode ser obtido integrando essa altura sobre a área da base do cilindro (a região no plano
com ):
Passo 4
Passagem para coordenadas polares (explicando as variáveis):
- Em coordenadas polares no plano
, usa-se , . Aqui é a distância ao eixo e é o ângulo polar. - O elemento de área é
. - Os limites são
e . - Substituindo na integral obtemos a integral iterada
Passo 5
Cálculo da integral em
(detalhado, passo a passo):
- Considere a integral interior
- Use a substituição
. Então , ou seja . - Quando
tem-se . Quando tem-se . - Substituindo:
- Invertendo os limites para tirar o sinal:
- Calcule a integral de
:
- Avaliando entre os limites:
- Note que
. Então
Passo 6
Integração em
e simplificação final:
- A integral em
apenas multiplica por :
- Substituindo
:
- Simplifique a potência fracionária:
. - Assim
- Reduzindo
obtemos a forma mais compacta
Passo 7
Comentário final e checagem rápida:
- Dimensionalmente faz sentido:
é proporcional a . - Para sanity check: se
aumenta, o volume cresce como ; o fator numérico é positivo (pois ), logo . - Pronto — este é o volume do cilindro com raio
limitado pela esfera de raio . Boa! Vai dar certo na prova — respira, revisa os passos da integração e lembra da substituição .