A concentração de um produto ao longo de uma coluna de destilação varia com a altura z e o tempo t, modelada por:
C(z, t)=C_{0} e^{-a z} \cdot \operatorname{sen}(b t)
Onde C_{0}, a, b>0 são constantes.
Esboce o gráfico da função C(z, t) para uma altura fixa z=z_{0};

Passo 1

O enunciado dá a função
C(z,t)=C_{0}e^{-a z}\cdot \operatorname{sen}(b t),
com C_{0}>0, a>0, b>0, e pede que se esboce o gráfico de C em função de t quando a altura é fixa em z=z_{0}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável independente do gráfico pedido será t.
  • A altura é fixada em z=z_{0} (constante).
  • As constantes C_{0}, a e b são positivas.
  • A parte dependente de t é uma função senoidal \operatorname{sen}(b t), multiplicada por um fator que depende só de z_{0}.
O que exatamente se pede: desenhar (esboçar) o gráfico de C versus t para z=z_{0}, ou seja, entender forma, amplitude, período, zeros e posições de máximos e mínimos.

Passo 2

Substituindo z=z_{0} na expressão, obtemos a função de t a esboçar:
C(z_{0},t)=C_{0}e^{-a z_{0}}\cdot \operatorname{sen}(b t).
É útil definir a amplitude reduzida
A:=C_{0}e^{-a z_{0}}.
Observe que, como C_{0}>0 e e^{-a z_{0}}>0, tem-se A>0. Assim a função a ser desenhada é
C(z_{0},t)=A\operatorname{sen}(b t).
Aqui o que cada parâmetro representa:
  • A é a amplitude da oscilação (altura máxima em módulo).
  • b é a frequência angular (quanto maior b, mais rápidas as oscilações).
  • O período temporal da oscilação é
T=\frac{2\pi}{b}.
  • Zeros e pontos notáveis dependem de b de forma simples (ver passo seguinte).

Passo 3

Vamos achar os pontos que guiam o esboço (tudo em termos de A e b).
Zeros da função:
C(z_{0},t)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{sen}(b t)=0
isso ocorre quando
b t = k\pi \quad\Rightarrow\quad t=\frac{k\pi}{b},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto há zeros regularmente espaçados em t=\tfrac{k\pi}{b}.
Máximos e mínimos:
Calcule a derivada para localizar extremos:
\frac{d}{dt}C(z_{0},t)=A b\cos(b t).
Extremos ocorrem quando \cos(b t)=0, ou seja quando
b t = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad\Rightarrow\quad t=\frac{\pi/2 + k\pi}{b},\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Para k par (por exemplo k=0) temos máximo com valor C=A em t=\tfrac{\pi}{2b}.
  • Para k ímpar (por exemplo k=1) temos mínimo com valor C=-A em t=\tfrac{3\pi}{2b}.
Valor inicial:
C(z_{0},0)=A\operatorname{sen}(0)=0,
e como \frac{d}{dt}C(z_{0},0)=A b>0, a curva parte de zero subindo para o primeiro máximo.
Amplitude e comportamento com z_{0}:
  • A amplitude A=C_{0}e^{-a z_{0}} decresce exponencialmente com z_{0}. Isto significa que quanto maior a altura z_{0}, menor a amplitude da senoide (as oscilações tornam‑se mais fracas).

Passo 4

Como esboçar passo a passo (instruções práticas para o desenho, úteis na prova):
  1. Trace dois eixos: eixo horizontal t e eixo vertical C.
  2. Marque no eixo vertical os níveis C=+A e C=-A.
  3. Marque no eixo horizontal os pontos t=0, t=\tfrac{\pi}{2b}, t=\tfrac{\pi}{b}, t=\tfrac{3\pi}{2b}, t=\tfrac{2\pi}{b}=T etc.
  4. Coloque zeros em t=\tfrac{k\pi}{b}. Coloque o primeiro máximo em t=\tfrac{\pi}{2b} com valor +A. Coloque o primeiro mínimo em t=\tfrac{3\pi}{2b} com valor -A.
  5. Desenhe uma curva senoidal suave que passa por esses pontos, começando em zero em t=0 e subindo para o máximo (isso garante a fase correta).
  6. Se quiser comparar alturas diferentes, desenhe outra senoide com amplitude menor A'=C_{0}e^{-a z_1} para z_1>z_0; ela terá a mesma frequência (mesmo b) mas amplitude menor.

Passo 5

Algumas observações físicas e dicas de prova (rápidas e motivantes):
  • Matematicamente a curva é simétrica e periódica com período T=\tfrac{2\pi}{b}.
  • Fisicamente, se a concentração não pode ser negativa, o modelo precisa ser interpretado (por exemplo a parte negativa pode indicar fase contrária ou o modelo idealizado). Na prova, o pedido é só o esboço matemático, então desenhe a senoide completa.
  • Quando precisar justificar pontos do esboço na prova, basta citar as fórmulas dos zeros, máximos/minimos e período que derivamos acima.

Resposta

C(z_{0},t)=C_{0}e^{-a z_{0}}\operatorname{sen}(b t)
Gráfico: uma senoide de amplitude A=C_{0}e^{-a z_{0}}, período T=\dfrac{2\pi}{b}, zeros em t=\dfrac{k\pi}{b} e máximos/minimos em t=\dfrac{\pi/2+k\pi}{b} (valores \pm A).

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