A concentração de um produto ao longo de uma coluna de destilação varia com a altura
e o tempo
, modelada por:
Onde
são constantes.
Esboce o gráfico da função
para uma altura fixa
;
Esboce o gráfico da função
Passo 1
O enunciado dá a função
com
,
,
, e pede que se esboce o gráfico de
em função de
quando a altura é fixa em
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável independente do gráfico pedido será
. - A altura é fixada em
(constante). - As constantes
, e são positivas. - A parte dependente de
é uma função senoidal , multiplicada por um fator que depende só de .
O que exatamente se pede: desenhar (esboçar) o gráfico de
versus
para
, ou seja, entender forma, amplitude, período, zeros e posições de máximos e mínimos.
Passo 2
Substituindo
na expressão, obtemos a função de
a esboçar:
É útil definir a amplitude reduzida
Observe que, como
e
, tem-se
. Assim a função a ser desenhada é
Aqui o que cada parâmetro representa:
-
é a amplitude da oscilação (altura máxima em módulo). -
é a frequência angular (quanto maior , mais rápidas as oscilações). - O período temporal da oscilação é
- Zeros e pontos notáveis dependem de
de forma simples (ver passo seguinte).
Passo 3
Vamos achar os pontos que guiam o esboço (tudo em termos de
e
).
Zeros da função:
isso ocorre quando
Portanto há zeros regularmente espaçados em
.
Máximos e mínimos:
Calcule a derivada para localizar extremos:
Calcule a derivada para localizar extremos:
Extremos ocorrem quando
, ou seja quando
- Para
par (por exemplo ) temos máximo com valor em . - Para
ímpar (por exemplo ) temos mínimo com valor em .
Valor inicial:
e como
, a curva parte de zero subindo para o primeiro máximo.
Amplitude e comportamento com
:
- A amplitude
decresce exponencialmente com . Isto significa que quanto maior a altura , menor a amplitude da senoide (as oscilações tornam‑se mais fracas).
Passo 4
Como esboçar passo a passo (instruções práticas para o desenho, úteis na prova):
- Trace dois eixos: eixo horizontal
e eixo vertical . - Marque no eixo vertical os níveis
e . - Marque no eixo horizontal os pontos
, , , , etc. - Coloque zeros em
. Coloque o primeiro máximo em com valor . Coloque o primeiro mínimo em com valor . - Desenhe uma curva senoidal suave que passa por esses pontos, começando em zero em
e subindo para o máximo (isso garante a fase correta). - Se quiser comparar alturas diferentes, desenhe outra senoide com amplitude menor
para ; ela terá a mesma frequência (mesmo ) mas amplitude menor.
Passo 5
Algumas observações físicas e dicas de prova (rápidas e motivantes):
- Matematicamente a curva é simétrica e periódica com período
. - Fisicamente, se a concentração não pode ser negativa, o modelo precisa ser interpretado (por exemplo a parte negativa pode indicar fase contrária ou o modelo idealizado). Na prova, o pedido é só o esboço matemático, então desenhe a senoide completa.
- Quando precisar justificar pontos do esboço na prova, basta citar as fórmulas dos zeros, máximos/minimos e período que derivamos acima.
Resposta
Gráfico: uma senoide de amplitude
, período
, zeros em
e máximos/minimos em
(valores
).