Determine e faça o esboço do domínio das seguintes funções:
g(x, y)=\frac{x y}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função g(x,y)=\dfrac{x y}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}:
  • Determinar o domínio (conjunto de pontos (x,y) em que g está bem definida como função real).
  • Fazer um esboço desse domínio no plano (x,y).
Informações fornecidas: a expressão da função g para variáveis reais x e y.

Passo 2

Primeiro regra geral: para que uma expressão com raiz quadrada \sqrt{\cdot} e uma divisão esteja bem definida em \mathbb{R} é preciso:
  • o radicando (o que está dentro da raiz) ser não negativo, ou seja maior ou igual a zero;
  • o denominador (a raiz, neste caso) não pode ser zero, porque não se pode dividir por zero.
Aplicando à nossa função, o radicando é x^{2}-y^{2}. Então temos as duas condições:
x^{2}-y^{2}\ge 0
e
\sqrt{x^{2}-y^{2}}\neq 0.

Passo 3

A segunda condição (raiz não nula) equivale a:
x^{2}-y^{2}\neq 0.
Juntando com a primeira condição x^{2}-y^{2}\ge 0, obtemos a condição combinada:
x^{2}-y^{2}>0.
Portanto o domínio é o conjunto dos pontos (x,y) que satisfazem essa desigualdade estrita.

Passo 4

Para manipular essa desigualdade, fatoramos a diferença de quadrados:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Queremos (x-y)(x+y)>0. Um produto de dois números é positivo quando ambos são positivos ou ambos são negativos. Isso nos dá duas possibilidades:
  1. x-y>0 e x+y>0. Essas duas juntas significam x>y e x>-y, o que é equivalente a x>|y|.
  2. x-y<0 e x+y<0. Essas duas juntas significam x<y e x<-y, o que é equivalente a x<-|y|.

Passo 5

Unindo as duas possibilidades, obtemos uma forma compacta muito útil do domínio:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;x^{2}-y^{2}>0\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;|x|>|y|\}.
Em palavras simples: o domínio é o conjunto de pontos do plano em que o valor absoluto de x é maior do que o valor absoluto de y.

Passo 6

Interpretação geométrica (para ajudar no esboço):
  • A equação limite x^{2}-y^{2}=0 corresponde às retas y=x e y=-x. Essas duas retas são a fronteira entre pontos permitidos e proibidos.
  • A desigualdade estrita x^{2}-y^{2}>0 significa que estamos em duas regiões abertas do plano, uma à direita das duas retas (onde x>|y|) e outra à esquerda (onde x<-|y|). Essas regiões não incluem as retas y=\pm x.
  • Outra forma: para cada valor de x fixo, os y permitidos satisfazem |y|<|x|; para cada valor de y fixo, os x permitidos satisfazem |x|>|y|.

Passo 7

Exemplos de teste rápido (útil na prova para checar entendimento):
  • (2,1): 2^{2}-1^{2}=4-1=3>0, portanto pertence ao domínio.
  • (1,1): 1-1=0, fora do domínio (a raiz seria zero e haveria divisão por zero).
  • (0,0): 0-0=0, fora do domínio.
  • (-2,1): (-2)^{2}-1^{2}=4-1=3>0, pertence ao domínio (região esquerda).
  • (3,0): 9-0=9>0, pertence ao domínio; nota: quando y=0 e x\neq0 a função vale g(x,0)=0.

Passo 8

Como esboçar o domínio no papel (passo a passo rápido para a prova):
  1. Desenhar os eixos x e y.
  2. Traçar as retas y=x e y=-x (duas diagonais que se cruzam na origem).
  3. Pintar as duas regiões abertas onde |x|>|y|: a região “para a direita” entre as duas retas com x>0 e a região “para a esquerda” entre as duas retas com x<0. Não pintar as retas nem a região central em forma de cone vertical (onde |y|\ge|x|).

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;x^{2}-y^{2}>0\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;|x|>|y|\}
Esboço: as duas regiões abertas do plano delimitadas pelas retas y=x e y=-x, ou seja, os pontos à direita (onde x>|y|) e à esquerda (onde x<-|y|) das linhas y=\pm x, sem incluir as próprias retas.

Exercícios relacionados