Determine e faça o esboço do domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- Determinar o domínio (conjunto de pontos
em que está bem definida como função real). - Fazer um esboço desse domínio no plano
.
Informações fornecidas: a expressão da função
para variáveis reais
e
.
Passo 2
Primeiro regra geral: para que uma expressão com raiz quadrada
e uma divisão esteja bem definida em
é preciso:
- o radicando (o que está dentro da raiz) ser não negativo, ou seja maior ou igual a zero;
- o denominador (a raiz, neste caso) não pode ser zero, porque não se pode dividir por zero.
Aplicando à nossa função, o radicando é
. Então temos as duas condições:
e
Passo 3
A segunda condição (raiz não nula) equivale a:
Juntando com a primeira condição
, obtemos a condição combinada:
Portanto o domínio é o conjunto dos pontos
que satisfazem essa desigualdade estrita.
Passo 4
Para manipular essa desigualdade, fatoramos a diferença de quadrados:
Queremos
. Um produto de dois números é positivo quando ambos são positivos ou ambos são negativos. Isso nos dá duas possibilidades:
-
e . Essas duas juntas significam e , o que é equivalente a . -
e . Essas duas juntas significam e , o que é equivalente a .
Passo 5
Unindo as duas possibilidades, obtemos uma forma compacta muito útil do domínio:
Em palavras simples: o domínio é o conjunto de pontos do plano em que o valor absoluto de
é maior do que o valor absoluto de
.
Passo 6
Interpretação geométrica (para ajudar no esboço):
- A equação limite
corresponde às retas e . Essas duas retas são a fronteira entre pontos permitidos e proibidos. - A desigualdade estrita
significa que estamos em duas regiões abertas do plano, uma à direita das duas retas (onde ) e outra à esquerda (onde ). Essas regiões não incluem as retas . - Outra forma: para cada valor de
fixo, os permitidos satisfazem ; para cada valor de fixo, os permitidos satisfazem .
Passo 7
Exemplos de teste rápido (útil na prova para checar entendimento):
-
: , portanto pertence ao domínio. -
: , fora do domínio (a raiz seria zero e haveria divisão por zero). -
: , fora do domínio. -
: , pertence ao domínio (região esquerda). -
: , pertence ao domínio; nota: quando e a função vale .
Passo 8
Como esboçar o domínio no papel (passo a passo rápido para a prova):
- Desenhar os eixos
e . - Traçar as retas
e (duas diagonais que se cruzam na origem). - Pintar as duas regiões abertas onde
: a região “para a direita” entre as duas retas com e a região “para a esquerda” entre as duas retas com . Não pintar as retas nem a região central em forma de cone vertical (onde ).
Resposta
Esboço: as duas regiões abertas do plano delimitadas pelas retas