A concentração de uma solução efetua-se em um evaporador de três efeitos. O primeiro evaporador é alimentado com 20.000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de uma solução com 15 \% de concentração de sólidos e utilizam-se 2.000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de vapor vivo. Se a concentração da solução na saída é 50 \% de sólidos, qual seria o vapor gerado no processo, em kg/s, e, a economia global.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • vazão da solução de alimentação: \dot{m}_F = 20000\\ \mathrm{kg/h};
  • concentração de sólidos na alimentação: x_F = 15\% = 0{,}15 (fração massa);
  • vapor vivo fornecido ao primeiro efeito: \dot{m}_{\text{vapor\_vivo}} = 2000\\ \mathrm{kg/h};
  • concentração de sólidos do produto final: x_P = 50\% = 0{,}5.
O enunciado pede:
  1. o vapor gerado no processo, em \mathrm{kg/s} (isto é, a massa de água evaporada total por segundo);
  2. a economia global (razão entre massa de água evaporada e massa de vapor vivo usado).

Passo 2

Conservação de massa dos sólidos (os sólidos não se evaporam). A massa de sólidos na alimentação é igual à massa de sólidos no produto:
\dot{m}_{\text{sólidos}}=\dot{m}_F\;x_F.ó
Calculemos:
\dot{m}_{\text{sólidos}}=20000\cdot 0{,}15=3000\\ \mathrm{kg/h}.ó
Explicação didática: aqui usamos que a concentração dada em porcentagem é fração em massa (por exemplo 15\% significa que 0{,}15 da massa total é sólidos). Multiplicando a vazão total pela fração obtemos a vazão de sólidos. Isso é uma aplicação direta da conservação de massa para uma espécie (sólidos).

Passo 3

A partir da massa de sólidos e da concentração do produto, calculamos a vazão total do produto \dot{m}_P:
\dot{m}_P=\frac{\dot{m}_{\text{sólidos}}}{x_P}.ó
Substituindo:
\dot{m}_P=\frac{3000}{0{,}5}=6000\\ \mathrm{kg/h}.
Didática: se o produto tem 50\% de sólidos, então a cada 1\\ \mathrm{kg} de produto, 0{,}5\\ \mathrm{kg} é sólido; por isso o total de produto é massa de sólidos dividida por 0{,}5.

Passo 4

A massa de água evaporada (vapor gerado) é a diferença entre a vazão de alimentação e a vazão do produto (porque a única perda de massa do líquido é pela evaporação):
\dot{m}_{\text{evap}}=\dot{m}_F-\dot{m}_P.
Substituindo:
\dot{m}_{\text{evap}}=20000-6000=14000\\ \mathrm{kg/h}.
Didática: é um balanço de massa global. Todo o que entra menos o que sai no produto final é o que saiu na forma de vapor.

Passo 5

Converter a vazão de vapor de \mathrm{kg/h} para \mathrm{kg/s}. Há 3600 segundos em uma hora, então:
\dot{m}_{\text{evap,kg/s}}=\frac{14000}{3600}=3{,}888\overline{8}\\ \mathrm{kg/s}\approx 3{,}889\\ \mathrm{kg/s}.
Didática: dividir por 3600 transforma horas em segundos. Use aproximação adequada para a prova (aqui usei três casas decimais).

Passo 6

Definição e cálculo da economia global. A economia global (às vezes chamada de rendimento de vapor) é a razão entre a massa de água evaporada e a massa de vapor vivo fornecido:
E=\frac{\dot{m}_{\text{evap}}}{\dot{m}_{\text{vapor\_vivo}}}.
Usando vazões em \mathrm{kg/h} (unidades cancelam):
E=\frac{14000}{2000}=7.
Interpretação didática: isto significa que cada quilograma de vapor vivo fornecido permitiu evaporar 7 kg de água. É uma métrica de eficiência térmica na prática; note que aqui foi obtida diretamente via balanço de massas (sem considerar perdas térmicas). Em exercícios de prova é comum usar exatamente essa definição.

Passo 7

Resumo numérico (pré-resposta):
  • vapor total gerado: \dot{m}_{\text{evap}}=14000\\ \mathrm{kg/h}=3{,}889\\ \mathrm{kg/s} (aprox.);
  • economia global: E=7 (ou 7\\ \mathrm{kg\\ evaporado/kg\\ vapor}).
Força aí — a técnica principal para esse tipo de questão é sempre: conservar a massa de cada espécie (aqui: sólidos) e relacionar concentrações como frações de massa; daí sai a evaporação por diferença de vazões. Na prova, faça esses passos devagar e com as unidades à vista.

Resposta

3{,}889\\ \mathrm{kg/s}
7\\ \mathrm{kg\\ evaporado/kg\\ vapor}

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