Um rio recebe um efluente de uma Estação de Tratamento de Esgotos. A vazão do rio a montante do ponto de lançamento do efluente é 8,7 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~s}^{-1}. O efluente é despejado no rio a uma vazão de 0,9 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~s}^{-1} e apresenta uma DBO de 50,0 \mathrm{mg} . \mathrm{L}^{-1}. Considerando desprezível DBO no rio a montante do lançamento do efluente:
a) Qual será a DBO do rio no ponto de lançamento do esgoto?
b) Se o rio possui área de seção transversal de 10 \mathrm{~m}^{2}, calcule a DBO a 50 Km a jusante do ponto de lançamento. Assuma que a degradação de DBO segue uma cinética de 1^{\text {a }} ordem com constante da taxa de biodegradação de 0,20 \mathrm{~d}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) a DBO do rio no ponto de lançamento do efluente;
(b) a DBO a 50\\ \mathrm{km} a jusante, sabendo que a degradação segue cinética de primeira ordem com constante k=0,20\\ \mathrm{d}^{-1}, e que a área da seção transversal do rio é A=10\\ \mathrm{m}^2.
Dados fornecidos:
  • Vazão do rio a montante: Q_r=8,7\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}.
  • Vazão do efluente: Q_e=0,9\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}.
  • DBO do efluente: C_e=50,0\\ \mathrm{mg}\!\cdot\!\mathrm{L}^{-1}.
  • DBO do rio a montante desprezível: C_r\approx0.
  • Distância a jusante: L=50\\ \mathrm{km}=50000\\ \mathrm{m}.
  • Constante de biodegradação (primeira ordem): k=0,20\\ \mathrm{d}^{-1}.
  • Área da seção do rio: A=10\\ \mathrm{m}^2.

Passo 2

Primeira etapa (parte a): mistura por diluição instantânea no ponto de lançamento.
Conservação da massa em regime permanente dá a concentração imediatamente após mistura:
C_0=\frac{Q_r C_r + Q_e C_e}{Q_r + Q_e}.
Aqui C_0 é a DBO imediatamente após o ponto de lançamento, Q_r e Q_e são as vazões (mesmas unidades) e C_r, C_e as concentrações. Como C_r\approx0,
C_0=\frac{Q_e C_e}{Q_r+Q_e}.

Passo 3

Colocar as vazões nas mesmas unidades que a concentração para facilitar a interpretação. Vou converter vazões de \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1} para \mathrm{L}\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1} (lembrando 1\\ \mathrm{m}^3=1000\\ \mathrm{L}):
Q_r = 8,7\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}=8700\\ \mathrm{L}\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}, \qquad Q_e = 0,9\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}=900\\ \mathrm{L}\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}.
Agora aplicar a fórmula:
C_0=\frac{900\cdot 50,0}{8700+900}\\ \mathrm{mg}\!\cdot\!\mathrm{L}^{-1} =\frac{45000}{9600}\\ \mathrm{mg}\!\cdot\!\mathrm{L}^{-1}.
Fazendo a divisão:
C_0=4,6875\\ \mathrm{mg}\!\cdot\!\mathrm{L}^{-1}.
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em problemas de qualidade de água):
C_0\approx 4,69\\ \mathrm{mg}\!\cdot\!\mathrm{L}^{-1}.

Passo 4

Segunda etapa (parte b): degradação por cinética de primeira ordem enquanto a massa d’água viaja 50\\ \mathrm{km}. A lei de decaimento de primeira ordem é
C(t)=C_0\,e^{-k t},
onde C(t) é a concentração após tempo t, C_0 é a concentração inicial (após mistura) e k é a constante de taxa com unidade de \mathrm{d}^{-1}. Para usar essa fórmula é preciso o tempo de viagem t entre o ponto de lançamento e 50\\ \mathrm{km}.

Passo 5

Calcular a velocidade média do rio v a jusante do ponto de mistura usando v=\dfrac{Q}{A}, onde Q é a vazão total (rio + efluente) e A a área da seção:
Q_{\text{tot}}=Q_r+Q_e=8,7+0,9=9,6\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}.
Como A=10\\ \mathrm{m}^2,
v=\frac{9,6}{10}=0,96\\ \mathrm{m}\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}.
O tempo de viagem até L=50000\\ \mathrm{m} é
t_{\text{(s)}}=\frac{L}{v}=\frac{50000}{0,96}=52083{,}333\\ \mathrm{s}.
Como k está em \mathrm{d}^{-1}, converto t para dias ( 1\\ \mathrm{dia}=86400\\ \mathrm{s}):
t=\frac{52083{,}333}{86400}=0,60301\\ \mathrm{d}.

Passo 6

Aplicar a lei de primeira ordem com C_0=4,6875\\ \mathrm{mg}\!\cdot\!\mathrm{L}^{-1}, k=0,20\\ \mathrm{d}^{-1} e t=0,60301\\ \mathrm{d}:
C(50\\ \mathrm{km})=4,6875\;e^{-0,20\cdot 0,60301}.
Calcular o expoente:
-0,20\cdot 0,60301=-0,120602.
Então
e^{-0,120602}\approx 0,8865.
Multiplicando:
C(50\\ \mathrm{km})\approx 4,6875\cdot 0,8865=4,1547\\ \mathrm{mg}\!\cdot\!\mathrm{L}^{-1}.
Arredondando para duas casas decimais:
C(50\\ \mathrm{km})\approx 4,15\\ \mathrm{mg}\!\cdot\!\mathrm{L}^{-1}.

Passo 7

Resumo rápido do raciocínio (sem fazer novos cálculos): primeiro fez-se o balanço de massa para obter a concentração inicial após mistura; depois usou-se a lei de decaimento de primeira ordem combinada com o tempo de viagem (obtido de v=Q/A) para achar a concentração a 50\\ \mathrm{km}. Dá para ver que a degradação foi pequena aqui porque o tempo de viagem é menor que um dia e k é relativamente baixo. Força aí — está indo bem!

Resposta

(a) 4,69\\ \mathrm{mg}\!\cdot\!\mathrm{L}^{-1}
(b) 4,15\\ \mathrm{mg}\!\cdot\!\mathrm{L}^{-1}

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