Concentram-se 10000 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~h}^{-1} de uma solução a 10 \% em açúcar (sacarose até 30 \% em um evaporador, empregando-se vapor saturado a 1,5 bar. A pressão absoluta no espaço de evaporação é de 0,132 bar. O coeficiente global de transferência de calor é estimado em 2000 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}-2 \cdot \mathrm{~K}-1. A temperatura da alimentação é de 30^{\circ} \mathrm{C}. Os calores específicos das soluções podem ser admitidos como independentes da temperatura e expressos por: C_{P F}=4,186-0,025 \mathrm{~B}, sendo B a concentração da solução em graus Brix e C_{P F} \mathrm{em} \mathrm{kJ} \cdot \mathrm{kg}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1}.
Calcular o consumo de vapor \left(\dot{m}_{V}\right), a elevação da temperatura de ebulição (EPE), para uma concentração de 30 \% de sacarose e pressão de 132 mbar , e a área de transferência de calor necessária.
Dados:
a) As entalpias de solução podem ser consideradas desprezíveis e, dessa maneira, o balanço de energia simplificado é expresso por:
\dot{m}_{H} \Delta_{v a p} H_{H}=\dot{m}_{F} C_{P F}\left(T_{P}-T_{F}\right)+\dot{m}_{V} \Delta_{v a p} H_{V}
b) Emprega-se como meio de aquecimento vapor saturado a pressão de 1,5 bar. Da tabela de saturação da água, verifica-se que corresponde a uma temperatura de 385 \mathrm{~K}\left(112{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) e uma entalpia de condensação \left(\Delta_{\text {vap }} H_{H}\right) de 2225 \mathrm{~kJ} \cdot \mathrm{~kg}^{-1}. Considera-se a condensação até a condição de água saturada.
c) A pressão de operação do evaporador é de 0,132 bar. Da tabela de saturação da água, temse que a temperatura de ebulição é de 51{ }^{\circ} \mathrm{C} e a entalpia de vaporização ( \Delta_{\text {vap }} H_{V} ) é de 2380 \mathrm{~kJ} \cdot \mathrm{~kg}^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá uma corrente de alimentação de \dot{m}_{F}=10000\\ \mathrm{kg\cdot h^{-1}} com concentração de sacarose 10\% (massa) e pede: o consumo de vapor de aquecimento, a elevação da temperatura de ebulição (EPE) para solução a 30\% em operação à pressão absoluta 0{,}132\\ \mathrm{bar} e a área de transferência de calor necessária. Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\dot{m}_{F}=10000\\ \mathrm{kg\cdot h^{-1}},\quad x_F=0{,}10\\ (\text{fração mássica de açúcar}),\\\ &x_P=0{,}30\\ (\text{produto concentrado}),\quad T_F=30^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{vapor de aquecimento: }p_{H}=1{,}5\\ \mathrm{bar}\Rightarrow T_H=112^\circ\mathrm{C},\\ \Delta_{vap}H_H=2225\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}},\\\ &\text{pressão de evaporação: }p_{ev}=0{,}132\\ \mathrm{bar}\Rightarrow T_{sat}(\text{água pura})=51^\circ\mathrm{C},\\ \Delta_{vap}H_V=2380\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}},\\\ &\text{coeficiente global: }U=2000\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-1}}=2{,}0\\ \mathrm{kW\cdot m^{-2}\cdot K^{-1}},\\\ &\text{capacidade térmica específica: }C_{PF}=4{,}186-0{,}025\,B\\ \left(\mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}\right)\\ \text{com \(B\) em ºBrix.} \end{aligned}çãáçúãçãáéíº
Observações de notação que vou usar (para evitar confusões): \dot{m}_V = massa de água evaporada (produção de vapor no evaporador), \dot{m}_H = consumo de vapor de aquecimento (vapor saturado fornecido). O balanço energético simplificado fornecido é:
\dot{m}_{H}\,\Delta_{vap}H_{H}=\dot{m}_{F}\,C_{PF}\,(T_{P}-T_{F})+\dot{m}_{V}\,\Delta_{vap}H_{V}.

Passo 2

Usamos conservação da massa do soluto (açúcar), pois só sai água como vapor:
\dot{m}_{F}\,x_F=\dot{m}_{P}\,x_P.
Logo
\dot{m}_{P}=\dot{m}_{F}\frac{x_F}{x_P} =\;10000\cdot\frac{0{,}10}{0{,}30}=10000\cdot\frac{1}{3}=3333{,}333\\ \mathrm{kg\cdot h^{-1}}.
A massa de água evaporada (produção de vapor)
\dot{m}_{V}=\dot{m}_{F}-\dot{m}_{P}=10000-3333{,}333=6666{,}667\\ \mathrm{kg\cdot h^{-1}}.
Pequeno comentário didático: esse cálculo é só álgebra simples de conservação de massa do soluto — muito usado em evaporação: quanto mais se concentra, menos produto (em massa) sobra e mais água foi removida como vapor.

Passo 3

Explicação do método (passo-a-passo didático):
  • Para soluções com soluto não volátil (sacarose), a pressão de vapor do solvente é multiplicada pela fração molar do solvente: p_{agua\;na\;solução}=x_w\;p_{sat}(T)çã.
  • A ebulição da solução numa dada pressão total p_{ev} ocorre quando x_w\,p_{sat}(T_P)=p_{ev}. Para água pura p_{sat}(T_{sat})=p_{ev}. Assim, a temperatura de ebulição da solução T_P é tal que p_{sat}(T_P)=p_{ev}/x_w. Como x_w<1, temos p_{sat}(T_P)>p_{ev} e logo T_P>T_{sat}: essa diferença é a EPE.
  • Para encontrar T_P usamos a aproximação de Clausius–Clapeyron (válida para pequenas variações): \ln\!\dfrac{p_1}{p_0}=-\dfrac{\Delta H_{vap,m}}{R}\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_0}\right), onde \Delta H_{vap,m} é entalpia molar de vaporização e R a constante universal.
Cálculos:
  1. Calcular fração molar da água em 30 % massa (base 1 kg de solução):
\begin{aligned} &\text{massa água}=0{,}70\\ \mathrm{kg}=700\\ \mathrm{g},\quad n_w=\frac{700}{18{,}015}=38{,}85\\ \mathrm{mol},\\\ &\text{massa sacarose}=0{,}30\\ \mathrm{kg}=300\\ \mathrm{g},\quad M_{suc}=342{,}3\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}},\quad n_s=\frac{300}{342{,}3}=0{,}8765\\ \mathrm{mol},\\\ &x_w=\frac{n_w}{n_w+n_s}=\frac{38{,}85}{38{,}85+0{,}8765}=0{,}9780\\ (\text{adim.}). \end{aligned}á
  1. Pressão requerida para água pura a T_P:
p_{sat}(T_P)=\frac{p_{ev}}{x_w}=\frac{0{,}132}{0{,}9780}=0{,}1350\\ \mathrm{bar}.
  1. Aplicar Clausius–Clapeyron entre o ponto conhecido (p_0,p_{ev},T_0) com p_0=p_{ev}=0{,}132\\ \mathrm{bar} e T_0=51^\circ\mathrm{C}=324{,}15\\ \mathrm{K}, e o ponto (p_1=0{,}1350\\ \mathrm{bar},T_1=T_P). A entalpia molar de vaporização a essa faixa (a partir do dado em kJ/kg) é:
\Delta H_{vap,m}=\Delta_{vap}H_V\cdot M_{H_2O} =2380\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}\times 0{,}018015\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}} =42811\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
Constante dos gases R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  1. Usando
\ln\!\frac{p_1}{p_0}=-\frac{\Delta H_{vap,m}}{R}\Big(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_0}\Big),
isolamos 1/T_1:
\frac{1}{T_1}=\frac{1}{T_0}-\frac{R}{\Delta H_{vap,m}}\ln\!\frac{p_1}{p_0}.
Substituindo números:
\ln\!\frac{p_1}{p_0}=\ln\!\frac{0{,}1350}{0{,}132}=0{,}0225,
\frac{R}{\Delta H_{vap,m}}=\frac{8{,}314}{42811}=1{,}942\times 10^{-4}\\ \mathrm{K^{-1}},
\frac{1}{T_1}=\frac{1}{324{,}15}-0{,}0225\times 1{,}942\times 10^{-4}=0{,}0030846-4{,}37\times 10^{-6}=0{,}0030802,
T_1=\frac{1}{0{,}0030802}=324{,}67\\ \mathrm{K}=51{,}52^\circ\mathrm{C}.
Portanto a elevação da temperatura de ebulição (EPE) é
\mathrm{EPE}=T_P-T_{sat}=51{,}52-51{,}00=0{,}52^\circ\mathrm{C}.
Comentário didático: para soluções diluídas em soluto não volátil, a EPE costuma ser pequena; aqui deu cerca de meio grau para 30 % massa de sacarose — resultado razoável e coerente com tabelas industriais.

Passo 4

O termo de aquecimento na equação de energia é \dot{m}_F\,C_{PF}\,(T_P-T_F), mas C_{PF} depende da concentração B. Para aquecer a alimentação de 10\% a 30\% a melhor aproximação simples é usar C_{PF} avaliado na concentração média:
B_{m}=\frac{B_F+B_P}{2}=\frac{10+30}{2}=20\\ ^\circ\mathrm{Bx}.
Assim
C_{PF}=4{,}186-0{,}025\cdot 20=4{,}186-0{,}50=3{,}686\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}.
Justificativa didática: C_P varia de forma quase linear com B segundo a expressão dada, então o valor médio é uma boa aproximação para o aquecimento da corrente.

Passo 5

Temperatura do produto T_P=51{,}52^\circ\mathrm{C}. Diferença de temperatura
\Delta T=T_P-T_F=51{,}52-30=21{,}52\\ \mathrm{K}.
Energia necessária para aquecer a alimentação:
\dot{Q}_{heat}=\dot{m}_F\,C_{PF}\,\Delta T =10000\cdot 3{,}686\cdot 21{,}52\\ \mathrm{kJ\cdot h^{-1}}.
Cálculo numérico:
3{,}686\times 21{,}52=79{,}3227\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}},
\dot{Q}_{heat}=10000\times 79{,}3227=793227\\ \mathrm{kJ\cdot h^{-1}}.

Passo 6

Energia de vaporização para \dot{m}_V:
\dot{Q}_{vap}=\dot{m}_V\,\Delta_{vap}H_V =6666{,}667\cdot 2380=15\,866\,666{,}7\\ \mathrm{kJ\cdot h^{-1}}.

Passo 7

Usando o balanço energético fornecido:
\dot{m}_{H}\,\Delta_{vap}H_{H}=\dot{Q}_{heat}+\dot{Q}_{vap}.
Substituindo valores (todas as energias em \mathrm{kJ\cdot h^{-1}}):
\dot{m}_{H}\cdot 2225=793227+15\,866\,666{,}7=16\,659\,893{,}7.
Logo
\dot{m}_{H}=\frac{16\,659\,893{,}7}{2225}=7487{,}6\\ \mathrm{kg\cdot h^{-1}}.
Arredondando de forma prática: \dot{m}_{H}\approx 7488\\ \mathrm{kg\cdot h^{-1}}.
Comentário didático: esse é o consumo de vapor saturado à 1{,}5\\ \mathrm{bar} necessário para fornecer a energia de aquecimento mais a vaporização; note que parte da carga térmica serve só para aquecer a alimentação até o ponto de ebulição da solução.

Passo 8

Energia total por unidade de tempo em potência (kW):
\dot{Q}=\frac{16\,659\,893{,}7\\ \mathrm{kJ\cdot h^{-1}}}{3600\\ \mathrm{s\cdot h^{-1}}} =4627{,}75\\ \mathrm{kW}.
Para calcular área usamos a expressão
\dot{Q}=U\,A\,\Delta T_{lm},
onde U é o coeficiente global e \Delta T_{lm} é a diferença de temperatura logarítmica média entre o vapor (temperatura constante T_H) e a solução na entrada e saída do aparelho.
Temperaturas:
T_H=112^\circ\mathrm{C},\quad T_{in}=T_F=30^\circ\mathrm{C},\quad T_{out}=T_P=51{,}52^\circ\mathrm{C}.
Diferenças de temperatura nas extremidades:
\Delta T_1=T_H-T_{in}=112-30=82^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2=T_H-T_{out}=112-51{,}52=60{,}48^\circ\mathrm{C}.
A diferença logarítmica média é
\Delta T_{lm}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\big(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\big)} =\frac{82-60{,}48}{\ln\!(82/60{,}48)}=\frac{21{,}52}{\ln(1{,}356)}=70{,}80\\ \mathrm{K}.
Agora U=2{,}0\\ \mathrm{kW\cdot m^{-2}\cdot K^{-1}}, então
A=\frac{\dot{Q}}{U\,\Delta T_{lm}} =\frac{4627{,}75}{2{,}0\times 70{,}80} =\frac{4627{,}75}{141{,}6}=32{,}67\\ \mathrm{m^{2}}.
Arredondando: A\approx 32{,}7\\ \mathrm{m^{2}}.
Comentário prático: o uso de LMTD aqui considera que o vapor está a temperatura praticamente constante (condensação), enquanto a solução varia de T_F até T_P; essa é a forma usual de dimensionar área de trocadores em evaporação simples.

Resposta

\dot{m}_{H}=7488\\ \mathrm{kg\cdot h^{-1}} (consumo de vapor de aquecimento, aproximado)
\mathrm{EPE}=0{,}52^\circ\mathrm{C}
A=32{,}7\\ \mathrm{m^{2}}

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