Uma concessionária pretende realizar uma pesquisa para medir o nível de satisfação dos seus clientes em uma determinada cidade. Existem 10.000 clientes na cidade e os funcionários querem obter uma amostra de tamanho 200 para entrevistar por telefone. Eles obtêm uma lista de 10.000 clientes e os numera de 1 a 10.000. Eles usam um computador para gerar 200 números aleatórios entre 1 e 10.000 e ligam para os clientes que correspondem aos números obtidos. Esta é uma amostra aleatória simples? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado diz que há
clientes na cidade e que se quer uma amostra de tamanho
. Eles numeraram os clientes de
a
e "usam um computador para gerar
números aleatórios entre
e
" e ligam para os clientes correspondentes. A pergunta: isso constitui uma amostra aleatória simples? Peço atenção: o enunciado não diz se os
números gerados são garantidamente todos diferentes ou se podem ocorrer repetições. Essa ambiguidade é crucial.
Passo 2
Vou explicar o que é exatamente uma amostra aleatória simples (SRS), de forma bem direta. Uma amostra aleatória simples de tamanho
retirada de uma população de tamanho
é uma seleção de
elementos tal que todo subconjunto de
elementos tem a mesma probabilidade de ser escolhido. Em símbolos, para
e
cada subconjunto de tamanho
deve ter probabilidade igual a
Isso normalmente corresponde a “amostragem sem reposição” uniformemente aleatória: escolhemos
índices distintos de forma que todos os conjuntos de
índices sejam equiprováveis.
Passo 3
Explico a diferença prática entre amostragem com reposição e sem reposição (isso é importante para a decisão):
- Amostragem sem reposição: cada vez que escolhemos um cliente, ele não volta para o “bolso” — não podemos escolher o mesmo cliente de novo. O resultado final é um conjunto de
clientes distintos. É o que usualmente entendemos por SRS quando queremos entrevistados distintos. - Amostragem com reposição: cada sorteio é independente e podemos sortear o mesmo cliente várias vezes. Depois de
sorteios podemos ter repetições, logo podemos ter menos de clientes distintos e alguns clientes podem ser sorteados várias vezes.
Passo 4
Analiso os dois cenários aplicados ao enunciado:
- Se o computador é programado para garantir que os
números sejam todos distintos (por exemplo, embaralhar a lista e pegar os primeiros , ou usar um método explícito de amostragem sem reposição), então cada conjunto de índices tem a mesma chance de aparecer. Nesse caso a amostra é uma amostra aleatória simples de tamanho . Intuitivamente: há conjuntos possíveis e o procedimento (sem reposição uniforme) dá probabilidade a cada conjunto. - Se o computador gera
números independentemente e permite repetições (amostragem com reposição) e eles simplesmente ligam para os números gerados, então o procedimento não produz necessariamente entrevistados distintos e, portanto, não é uma SRS de clientes distintos. Mesmo que, por acaso, todas as saídas sejam distintas, o mecanismo (com reposição) é diferente do mecanismo sem reposição: a seleção final não corresponde ao modelo “cada subconjunto de distintos é equiprovável” considerando o processo sem condicionamento. Na prática, permitir repetições significa que alguns clientes têm maior chance de aparecer várias vezes e outros de não aparecer — logo não satisfaz a definição de SRS de indivíduos distintos.
Passo 5
Um ponto prático e pedagógico: a probabilidade de haver alguma repetição ao sortear
números de
a
com reposição é pequena, mas não nula. Mesmo que seja improvável, a possibilidade de repetições torna o procedimento diferente de uma SRS a menos que se Imponha explicitamente “sem repetição”. Em exames ou provas, a resposta esperada costuma salientar essa ambiguidade e concluir que só se pode afirmar que é SRS quando há garantia de números distintos (ou que se está amostrando sem reposição).
Passo 6
Resumo e recomendação prática (para a prova e para a aplicação real): para ter certeza de que é uma amostra aleatória simples de tamanho
você deve usar um procedimento que gere
índices distintos uniformemente — por exemplo, gerar uma permutação aleatória de
e tomar os primeiros
, ou usar um algoritmo de amostragem sem reposição. Se o procedimento não proíbe repetições, então não é SRS de
indivíduos distintos.
Resposta
Não necessariamente. Se os
números gerados forem garantidamente distintos (amostragem sem reposição uniforme), então sim — é uma amostra aleatória simples. Se os
números puderem repetir (amostragem com reposição) e eles ligarem simplesmente para os números obtidos, então não é uma amostra aleatória simples de
clientes distintos.