Uma concessionária pretende realizar uma pesquisa para medir o nível de satisfação dos seus clientes em uma determinada cidade. Existem 10.000 clientes na cidade e os funcionários querem obter uma amostra de tamanho 200 para entrevistar por telefone. Eles obtêm uma lista de 10.000 clientes e os numera de 1 a 10.000. Eles usam um computador para gerar 200 números aleatórios entre 1 e 10.000 e ligam para os clientes que correspondem aos números obtidos. Esta é uma amostra aleatória simples? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado diz que há 10.000 clientes na cidade e que se quer uma amostra de tamanho 200. Eles numeraram os clientes de 1 a 10.000 e "usam um computador para gerar 200 números aleatórios entre 1 e 10.000" e ligam para os clientes correspondentes. A pergunta: isso constitui uma amostra aleatória simples? Peço atenção: o enunciado não diz se os 200 números gerados são garantidamente todos diferentes ou se podem ocorrer repetições. Essa ambiguidade é crucial.

Passo 2

Vou explicar o que é exatamente uma amostra aleatória simples (SRS), de forma bem direta. Uma amostra aleatória simples de tamanho n retirada de uma população de tamanho N é uma seleção de n elementos tal que todo subconjunto de n elementos tem a mesma probabilidade de ser escolhido. Em símbolos, para N=10000 e n=200 cada subconjunto de tamanho 200 deve ter probabilidade igual a
\frac{1}{\binom{10000}{200}}.
Isso normalmente corresponde a “amostragem sem reposição” uniformemente aleatória: escolhemos 200 índices distintos de forma que todos os conjuntos de 200 índices sejam equiprováveis.

Passo 3

Explico a diferença prática entre amostragem com reposição e sem reposição (isso é importante para a decisão):
  • Amostragem sem reposição: cada vez que escolhemos um cliente, ele não volta para o “bolso” — não podemos escolher o mesmo cliente de novo. O resultado final é um conjunto de 200 clientes distintos. É o que usualmente entendemos por SRS quando queremos 200 entrevistados distintos.
  • Amostragem com reposição: cada sorteio é independente e podemos sortear o mesmo cliente várias vezes. Depois de 200 sorteios podemos ter repetições, logo podemos ter menos de 200 clientes distintos e alguns clientes podem ser sorteados várias vezes.

Passo 4

Analiso os dois cenários aplicados ao enunciado:
  • Se o computador é programado para garantir que os 200 números sejam todos distintos (por exemplo, embaralhar a lista 1,\dots,10000 e pegar os primeiros 200, ou usar um método explícito de amostragem sem reposição), então cada conjunto de 200 índices tem a mesma chance de aparecer. Nesse caso a amostra é uma amostra aleatória simples de tamanho 200. Intuitivamente: há \binom{10000}{200} conjuntos possíveis e o procedimento (sem reposição uniforme) dá probabilidade 1/\binom{10000}{200} a cada conjunto.
  • Se o computador gera 200 números independentemente e permite repetições (amostragem com reposição) e eles simplesmente ligam para os números gerados, então o procedimento não produz necessariamente 200 entrevistados distintos e, portanto, não é uma SRS de 200 clientes distintos. Mesmo que, por acaso, todas as 200 saídas sejam distintas, o mecanismo (com reposição) é diferente do mecanismo sem reposição: a seleção final não corresponde ao modelo “cada subconjunto de 200 distintos é equiprovável” considerando o processo sem condicionamento. Na prática, permitir repetições significa que alguns clientes têm maior chance de aparecer várias vezes e outros de não aparecer — logo não satisfaz a definição de SRS de 200 indivíduos distintos.

Passo 5

Um ponto prático e pedagógico: a probabilidade de haver alguma repetição ao sortear 200 números de 1 a 10000 com reposição é pequena, mas não nula. Mesmo que seja improvável, a possibilidade de repetições torna o procedimento diferente de uma SRS a menos que se Imponha explicitamente “sem repetição”. Em exames ou provas, a resposta esperada costuma salientar essa ambiguidade e concluir que só se pode afirmar que é SRS quando há garantia de números distintos (ou que se está amostrando sem reposição).

Passo 6

Resumo e recomendação prática (para a prova e para a aplicação real): para ter certeza de que é uma amostra aleatória simples de tamanho 200 você deve usar um procedimento que gere 200 índices distintos uniformemente — por exemplo, gerar uma permutação aleatória de 1,\dots,10000 e tomar os primeiros 200, ou usar um algoritmo de amostragem sem reposição. Se o procedimento não proíbe repetições, então não é SRS de 200 indivíduos distintos.

Resposta

Não necessariamente. Se os 200 números gerados forem garantidamente distintos (amostragem sem reposição uniforme), então sim — é uma amostra aleatória simples. Se os 200 números puderem repetir (amostragem com reposição) e eles ligarem simplesmente para os números obtidos, então não é uma amostra aleatória simples de 200 clientes distintos.

Exercícios relacionados