O que acontece com a média e com o desvio padrão:
a) Se um mesmo número é somado a todos os elementos de um conjunto de dados?
b) Se cada elemento de um conjunto de dados for multiplicado por um valor constante?
a) Se um mesmo número é somado a todos os elementos de um conjunto de dados?
b) Se cada elemento de um conjunto de dados for multiplicado por um valor constante?
Passo 1
O que o enunciado pergunta:
a) O que acontece com a média e com o desvio padrão se somarmos um mesmo número a todos os elementos de um conjunto de dados?
b) O que acontece com a média e com o desvio padrão se multiplicarmos cada elemento do conjunto por uma constante?
a) O que acontece com a média e com o desvio padrão se somarmos um mesmo número a todos os elementos de um conjunto de dados?
b) O que acontece com a média e com o desvio padrão se multiplicarmos cada elemento do conjunto por uma constante?
Informações dadas (implícitas no enunciado):
- Temos um conjunto de dados com
observações: . - Vamos aplicar transformações simples nos dados: somar uma constante
a cada observação ou multiplicar cada observação por uma constante . - Precisamos dizer o efeito dessas transformações sobre a média e sobre o desvio padrão.
Passo 2
Definições e fórmulas básicas (explicando cada símbolo):
- A média aritmética (média) dos dados
é
onde
é o símbolo para a média e
significa a soma de todos os
.
- A variância populacional é
onde
é a variância (média dos quadrados das distâncias dos pontos à média). O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
- Se estivermos usando o desvio padrão amostral (fórmula com denominador
), a relação de escala com multiplicação por constante é idêntica; só muda o denominador, mas o fator de escala permanece o mesmo. Vou trabalhar com a notação genérica para desvio padrão, sem perder generalidade quanto ao comportamento sob transformações lineares.
Passo 3
Transformação 1 — somar uma constante:
.
Cálculo da nova média:
Separe a soma em duas partes:
Como
, fica
Conclusão algebraica: somar
a todos os dados acrescenta
à média.
Agora o desvio padrão (intuição + cálculo):
Observe a diferença de cada elemento para a nova média:
Observe a diferença de cada elemento para a nova média:
Ou seja, as distâncias de cada ponto à média não mudaram. Portanto as quantidades
são iguais a
, logo a variância e o desvio padrão permanecem iguais:
Intuição curta: somar a mesma constante só “desloca” todos os pontos; não altera a dispersão.
Passo 4
Exemplo numérico para fixar (relaxa, é só pra ver na prática):
Considere os dados .
Considere os dados
- Média:
- Variância populacional:
Agora some
a cada elemento:
.
- Nova média:
(confere com os cálculos). - As diferenças para a média continuam
, então a variância e o desvio padrão permanecem e . Resultado prático: média muda, desvio padrão não.
Passo 5
Transformação 2 — multiplicar por uma constante:
.
Cálculo da nova média:
Conclusão algebraica: multiplicar todos os dados por
multiplica a média por
.
Agora o desvio padrão:
Calcule a diferença para a nova média:
Calcule a diferença para a nova média:
Ao elevar ao quadrado:
Somando e fazendo a média (variância):
Tomando raiz para obter o desvio padrão:
Importante: aparece o valor absoluto
porque o desvio padrão é sempre não negativo. Se
for negativo, a média fica multiplicada por
(troca de sinal), mas a dispersão absoluta dos pontos cresce em
vezes.
Passo 6
Exemplo numérico para visualização da multiplicação:
Voltemos aos dados com
e
.
Multiplique por : dados
.
Voltemos aos dados
Multiplique por
- Nova média:
. - Desvio padrão:
.
Note que a média mudou de sinal (porqueé negativo) e o desvio padrão dobrou (porque ). Faz sentido: os pontos ficaram duas vezes mais afastados da média original (em escala absoluta).
Passo 7
Resumo final e observações rápidas (pra você gravar na prova):
- Somar uma constante
a todos os dados: média aumenta em , desvio padrão não muda. Fórmulas finais:
- Multiplicar todos os dados por uma constante
: média é multiplicada por , desvio padrão é multiplicado por . Fórmulas finais:
Observação sobre variância: a variância escala por
, ou seja
. Isso pode ser útil se a questão pedir variância em vez de desvio padrão.
Resposta
a)
,
b) ,
b)