O que acontece com a média e com o desvio padrão:
a) Se um mesmo número é somado a todos os elementos de um conjunto de dados?
b) Se cada elemento de um conjunto de dados for multiplicado por um valor constante?

Passo 1

O que o enunciado pergunta:
a) O que acontece com a média e com o desvio padrão se somarmos um mesmo número a todos os elementos de um conjunto de dados?
b) O que acontece com a média e com o desvio padrão se multiplicarmos cada elemento do conjunto por uma constante?
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Temos um conjunto de dados com n observações: x_1,x_2,\dots,x_n.
  • Vamos aplicar transformações simples nos dados: somar uma constante c a cada observação ou multiplicar cada observação por uma constante a.
  • Precisamos dizer o efeito dessas transformações sobre a média e sobre o desvio padrão.

Passo 2

Definições e fórmulas básicas (explicando cada símbolo):
  • A média aritmética (média) dos dados x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,
onde \bar{x} é o símbolo para a média e \sum_{i=1}^{n}x_i significa a soma de todos os x_i.
  • A variância populacional é
\sigma_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,
onde \sigma_x^2 é a variância (média dos quadrados das distâncias dos pontos à média). O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
\sigma_x=\sqrt{\sigma_x^2}.
  • Se estivermos usando o desvio padrão amostral (fórmula com denominador n-1), a relação de escala com multiplicação por constante é idêntica; só muda o denominador, mas o fator de escala permanece o mesmo. Vou trabalhar com a notação genérica \sigma_x para desvio padrão, sem perder generalidade quanto ao comportamento sob transformações lineares.

Passo 3

Transformação 1 — somar uma constante: y_i=x_i+c.
Cálculo da nova média:
\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i+c)
Separe a soma em duas partes:
\bar{y}=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=1}^{n}c\right)
Como \sum_{i=1}^{n}c = nc, fica
\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i + \frac{1}{n}nc = \bar{x}+c.
Conclusão algebraica: somar c a todos os dados acrescenta c à média.
Agora o desvio padrão (intuição + cálculo):
Observe a diferença de cada elemento para a nova média:
y_i-\bar{y}=(x_i+c)-(\bar{x}+c)=x_i-\bar{x}.
Ou seja, as distâncias de cada ponto à média não mudaram. Portanto as quantidades (y_i-\bar{y})^2 são iguais a (x_i-\bar{x})^2, logo a variância e o desvio padrão permanecem iguais:
\sigma_y^2=\sigma_x^2\quad\Rightarrow\quad \sigma_y=\sigma_x.
Intuição curta: somar a mesma constante só “desloca” todos os pontos; não altera a dispersão.

Passo 4

Exemplo numérico para fixar (relaxa, é só pra ver na prática):
Considere os dados \{1,3,5\}.
  • Média:
\bar{x}=\frac{1+3+5}{3}=\frac{9}{3}=3.
  • Variância populacional:
\sigma_x^2=\frac{(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2}{3}=\frac{4+0+4}{3}=\frac{8}{3},
\sigma_x=\sqrt{\frac{8}{3}}\approx1{,}632.
Agora some c=2 a cada elemento: \{3,5,7\}.
  • Nova média: \bar{y}=3+2=5 (confere com os cálculos).
  • As diferenças para a média continuam -2,0,2, então a variância e o desvio padrão permanecem \frac{8}{3} e \approx1{,}632. Resultado prático: média muda, desvio padrão não.

Passo 5

Transformação 2 — multiplicar por uma constante: y_i=a x_i.
Cálculo da nova média:
\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a x_i=\frac{a}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=a\bar{x}.
Conclusão algebraica: multiplicar todos os dados por a multiplica a média por a.
Agora o desvio padrão:
Calcule a diferença para a nova média:
y_i-\bar{y}=a x_i - a\bar{x}=a(x_i-\bar{x}).
Ao elevar ao quadrado:
(y_i-\bar{y})^2=a^2(x_i-\bar{x})^2.
Somando e fazendo a média (variância):
\sigma_y^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a^2(x_i-\bar{x})^2=a^2\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=a^2\sigma_x^2.
Tomando raiz para obter o desvio padrão:
\sigma_y=\sqrt{\sigma_y^2}=\sqrt{a^2\sigma_x^2}=|a|\,\sigma_x.
Importante: aparece o valor absoluto |a| porque o desvio padrão é sempre não negativo. Se a for negativo, a média fica multiplicada por a (troca de sinal), mas a dispersão absoluta dos pontos cresce em |a| vezes.

Passo 6

Exemplo numérico para visualização da multiplicação:
Voltemos aos dados \{1,3,5\} com \bar{x}=3 e \sigma_x\approx1{,}632.
Multiplique por a=-2: dados \{-2,-6,-10\}.
  • Nova média: \bar{y}=(-2)\cdot3=-6.
  • Desvio padrão: \sigma_y=|{-2}|\cdot1{,}632=2\cdot1{,}632\approx3{,}265.
    Note que a média mudou de sinal (porque a é negativo) e o desvio padrão dobrou (porque |a|=2). Faz sentido: os pontos ficaram duas vezes mais afastados da média original (em escala absoluta).

Passo 7

Resumo final e observações rápidas (pra você gravar na prova):
  • Somar uma constante c a todos os dados: média aumenta em c, desvio padrão não muda. Fórmulas finais:
\bar{y}=\bar{x}+c,\qquad \sigma_y=\sigma_x.
  • Multiplicar todos os dados por uma constante a: média é multiplicada por a, desvio padrão é multiplicado por |a|. Fórmulas finais:
\bar{y}=a\bar{x},\qquad \sigma_y=|a|\,\sigma_x.
Observação sobre variância: a variância escala por a^2, ou seja \sigma_y^2=a^2\sigma_x^2. Isso pode ser útil se a questão pedir variância em vez de desvio padrão.

Resposta

a) \bar{y}=\bar{x}+c, \sigma_y=\sigma_x
b) \bar{y}=a\bar{x}, \sigma_y=|a|\,\sigma_x

Exercícios relacionados