- Na concordância projetada para o PI1, no exemplo anterior, foi utilizada uma curva circular com raio
, em função do qual deve ser considerada corda de
. Determine:
a) (1 ponto) o grau da curva.
b) (1 ponto) a deflexão para essa corda.
b) (1 ponto) a deflexão para essa corda.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei os números do enunciado):
- Raio da curva:
. - Comprimento da corda considerada:
.
O enunciado pede:
(a) determinar o grau da curva (ou seja, o ângulo central correspondente à corda de);
(b) determinar a deflexão para essa corda (o ângulo de deflexão correspondente à corda de).
Passo 2
Relação entre corda e ângulo central: em uma circunferência, a corda
que subtende um ângulo central
(medido em radianos ou graus) satisfaz a fórmula
Explicando cada coisa:
-
é o comprimento da corda (aqui ). -
é o raio da curva (aqui ). -
é o ângulo central subtendido por essa corda (em radianos ou graus).
Essa fórmula vem da geometria do triângulo isósceles formado pelos dois raios que vão aos extremos da corda: metade da corda é.
Passo 3
Isolar
na fórmula: dividir por
e aplicar arco-seno:
logo
Agora substituímos os valores dados (todos em TeX):
Portanto
Passo 4
Cálculo numérico de
. Usando expansão numérica para
(ou uma calculadora trigonométrica), tem-se
Multiplicando por
,
Converter para graus usando
dá
Este é o ângulo central correspondente à corda de
; em termos de “grau da curva” (definido aqui como o ângulo subtendido pela corda especificada) esse é o valor pedido.
Passo 5
Deflexão para a corda: definição e fórmula. Na geometria de locação de curvas, a deflexão
para uma corda é o ângulo formado entre a tangente no início da curva (PC) e a corda até o ponto final da corda. Uma propriedade geométrica clássica diz que esse ângulo de deflexão é metade do ângulo central subtendido pela corda. Isso porque o ângulo entre a tangente e a corda é igual ao ângulo inscrito no arco oposto, e o ângulo inscrito vale metade do ângulo central correspondente. Portanto
Passo 6
Cálculo numérico da deflexão
. Já calculámos
em radianos; convertendo para graus:
Resposta
(a)
(b)
(b)