1. Na concordância projetada para o PI1, no exemplo anterior, foi utilizada uma curva circular com raio R 1=200,00 \mathrm{~m}, em função do qual deve ser considerada corda de 10,00 \mathrm{~m}. Determine:
a) (1 ponto) o grau da curva.
b) (1 ponto) a deflexão para essa corda.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei os números do enunciado):
  • Raio da curva: R=200{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da corda considerada: c=10{,}00\\ \mathrm{m}.
    O enunciado pede:
    (a) determinar o grau da curva (ou seja, o ângulo central correspondente à corda de 10{,}00\\ \mathrm{m});
    (b) determinar a deflexão para essa corda (o ângulo de deflexão correspondente à corda de 10{,}00\\ \mathrm{m}).

Passo 2

Relação entre corda e ângulo central: em uma circunferência, a corda c que subtende um ângulo central \Delta (medido em radianos ou graus) satisfaz a fórmula
c = 2R\sin\!\left(\frac{\Delta}{2}\right).
Explicando cada coisa:
  • c é o comprimento da corda (aqui 10{,}00\\ \mathrm{m}).
  • R é o raio da curva (aqui 200{,}00\\ \mathrm{m}).
  • \Delta é o ângulo central subtendido por essa corda (em radianos ou graus).
    Essa fórmula vem da geometria do triângulo isósceles formado pelos dois raios que vão aos extremos da corda: metade da corda é R\sin(\Delta/2).

Passo 3

Isolar \Delta na fórmula: dividir por 2R e aplicar arco-seno:
\sin\!\left(\frac{\Delta}{2}\right)=\frac{c}{2R} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{\Delta}{2}=\arcsin\!\left(\frac{c}{2R}\right)
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\Delta = 2\arcsin\!\left(\frac{c}{2R}\right).
Agora substituímos os valores dados (todos em TeX):
\frac{c}{2R}=\frac{10{,}00}{2\cdot200{,}00}=\frac{10}{400}=0{,}025.
Portanto
\Delta = 2\arcsin(0{,}025).

Passo 4

Cálculo numérico de \Delta. Usando expansão numérica para \arcsin (ou uma calculadora trigonométrica), tem-se
\arcsin(0{,}025)\approx 0{,}0250026049\\ \text{rad}.
Multiplicando por 2,
\Delta \approx 0{,}0500052098\\ \text{rad}.
Converter para graus usando 1\\ \text{rad}=180/\pi
\Delta \approx 0{,}0500052098\cdot\frac{180}{\pi}\approx 2{,}865348^\circ.
Este é o ângulo central correspondente à corda de 10{,}00\\ \mathrm{m}; em termos de “grau da curva” (definido aqui como o ângulo subtendido pela corda especificada) esse é o valor pedido.

Passo 5

Deflexão para a corda: definição e fórmula. Na geometria de locação de curvas, a deflexão \delta para uma corda é o ângulo formado entre a tangente no início da curva (PC) e a corda até o ponto final da corda. Uma propriedade geométrica clássica diz que esse ângulo de deflexão é metade do ângulo central subtendido pela corda. Isso porque o ângulo entre a tangente e a corda é igual ao ângulo inscrito no arco oposto, e o ângulo inscrito vale metade do ângulo central correspondente. Portanto
\delta = \frac{\Delta}{2}=\arcsin\!\left(\frac{c}{2R}\right).

Passo 6

Cálculo numérico da deflexão \delta. Já calculámos \arcsin(0{,}025) em radianos; convertendo para graus:
\delta=\arcsin(0{,}025)\approx 0{,}0250026049\\ \text{rad}\approx 1{,}432674^\circ.

Resposta

(a) \Delta \approx 2{,}865348^\circ
(b) \delta \approx 1{,}432674^\circ

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