EXERCÍCIO 12
O estado de deformação no ponto da barra tem componentes de
e
.
Use o círculo de Mohr para determinar
(a) as deformações principais no plano e
(b) a deformação de cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média.
Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações
deformam o elemento dentro do plano
.
Use o círculo de Mohr para determinar
(a) as deformações principais no plano e
(b) a deformação de cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média.
deformam o elemento dentro do plano
Passo 1
O enunciado dá as componentes da deformação no ponto (peguei estes valores do enunciado):
Pede:
(a) as deformações principais no plano (valores e orientação do elemento onde elas atuam);
(b) a deformação de cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média (e também orientar o elemento para cada caso).
Além disso é solicitado mostrar como as deformações deformam um elemento no plano .
(a) as deformações principais no plano (valores e orientação do elemento onde elas atuam);
(b) a deformação de cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média (e também orientar o elemento para cada caso).
Além disso é solicitado mostrar como as deformações deformam um elemento no plano
Vou resolver passo a passo usando o círculo de Mohr para deformações e explicar cada fórmula e significado das variáveis.
Passo 2
Conceitos e fórmulas importantes (aula rápida e explicada):
- Definição:
e são as deformações normais nas direções e . é a deformação de cisalhamento de engenharia (em radianos), que representa a variação do ângulo reto entre as linhas originalmente ao longo de e . - Deformação média normal (centro do círculo de Mohr):
Interpretação: é a deformação média dos dois eixos — deslocamento médio de alongamento/compressão. - Raio do círculo (relaciona diferença de deformações e cisalhamento):
Explicação: esse mede a amplitude da variação entre a deformação média e as deformações principais; ele vem da forma trigonométrica da transformação de deformações. - Deformações principais:
Significado: são as deformações normais máximas e mínimas que ocorrem em direções onde o cisalhamento local é nulo. - Valor máximo da deformação de cisalhamento (engenharia) no plano:
Observação: este é o valor máximo de que aparece em alguma orientação do elemento no plano. - Orientação das direções principais (ângulo
medido a partir do eixo até o eixo principal que corresponde a ): Nota didática: o ângulo no círculo de Mohr é o dobro do ângulo físico. Assim, ao calcular pela arctan, divide-se por 2 para obter o ângulo físico . Há ambiguidade de (duas direções principais), então normalmente damos e . - Orientação para cisalhamento máximo: ocorre em planos com
porque na Mohr o ponto de máximo cisalhamento está a no círculo (o que corresponde a fisicamente).
Passo 3
Cálculos intermediários (faça as contas à prova de prova, sem pular etapas):
Calcule a deformação normal média:
Calcule
e
:
Agora o raio
:
Para facilitar, usaremos
.
Passo 4
Deformações principais (aplicando
):
Arredondando razoavelmente para 3 algarismos significativos:
Passo 5
Orientação das direções principais (usar
):
Calcule o argumento:
Logo
Interpretação prática: a direção onde aparece
está rotacionada cerca de
(ou seja,
no sentido horário) em relação ao eixo
. A outra direcção principal (de
) fica a
distante:
Passo 6
Deformação de cisalhamento máxima e orientação:
Já temos
. Então
Orientação dos planos de cisalhamento máximo:
E o outro plano de cisalhamento máximo está a
dele, ou seja
.
A deformação normal média (já calculada) é
Passo 7
Significado físico — como o elemento se deforma (descrição prática e números para desenhar na prova):
- Plano com eixos originais
e : a partir dos dados, o eixo sofre alongamento (ou seja, um alongamento de ), e o eixo sofre contração (contração de ). Além disso, há um cisalhamento que causa uma pequena alteração de ângulo entre as direções originais (mudança do ângulo reto aproximada por em radianos), isto é uma alteração de ângulo de (muito pequena). - No sistema de eixos principais (rotacionado em
): não existe cisalhamento local. O elemento torna-se um retângulo cujos lados ao longo da direção de se alongam em e ao longo da direção de se contraem em . Ou seja, se antes o elemento era um quadrado unitário, depois mede aproximadamente numa direção e na outra — isto é pura dilatação/contração sem cisalhamento. - Nas direções de cisalhamento máximo (em
): a normal nesses planos é aproximadamente a deformação média , e o cisalhamento atinge . Isso significa que, se alinhar o elemento nessas direções, a principal mudança será uma rotação/ deslocamento tangencial relativa (cisalhamento) grosseiramente maior do que no sistema original. - Resumo intuitivo: para desenhar na prova — trace um quadrado; rotacione os eixos em
. Ao longo do eixo principal maior o quadrado estica ligeiramente; ao longo do outro eixo principal ele aperta. Para mostrar cisalhamento máximo, rotacione e desenhe as faces inclinadas de modo que uma deslize relativamente à outra por uma pequena distância proporcional a .
Observação encorajadora: todos esses números são muito pequenos (ordem de
a
), então as deformações visuais são quase imperceptíveis, mas matematicamente é importante reportá-las com precisão para a prova.
Resposta
(a)
em
(a partir de
);
em
.
(b) ;
.
(b)