EXERCÍCIO 12
O estado de deformação no ponto da barra tem componentes de \varepsilon_{x}=180 \times 10^{-6}, \varepsilon_{y}=-120 \times 10^{-6} e \gamma_{x y}=-100 \times 10^{-6}.
Use o círculo de Mohr para determinar
(a) as deformações principais no plano e
(b) a deformação de cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média.
Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações
deformam o elemento dentro do plano x-y.

Passo 1

O enunciado dá as componentes da deformação no ponto (peguei estes valores do enunciado):
  • \varepsilon_{x}=180\times10^{-6}
  • \varepsilon_{y}=-120\times10^{-6}
  • \gamma_{xy}=-100\times10^{-6}
Pede:
(a) as deformações principais no plano (valores e orientação do elemento onde elas atuam);
(b) a deformação de cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média (e também orientar o elemento para cada caso).
Além disso é solicitado mostrar como as deformações deformam um elemento no plano x\text{-}y.
Vou resolver passo a passo usando o círculo de Mohr para deformações e explicar cada fórmula e significado das variáveis.

Passo 2

Conceitos e fórmulas importantes (aula rápida e explicada):
  • Definição: \varepsilon_x e \varepsilon_y são as deformações normais nas direções x e y. \gamma_{xy} é a deformação de cisalhamento de engenharia (em radianos), que representa a variação do ângulo reto entre as linhas originalmente ao longo de x e y.
  • Deformação média normal (centro do círculo de Mohr): \varepsilon_\text{m}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}.Interpretação: é a deformação média dos dois eixos — deslocamento médio de alongamento/compressão.
  • Raio do círculo (relaciona diferença de deformações e cisalhamento): R=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^{2}}.Explicação: esse R mede a amplitude da variação entre a deformação média e as deformações principais; ele vem da forma trigonométrica da transformação de deformações.
  • Deformações principais: \varepsilon_{1,2}=\varepsilon_\text{m}\pm R.Significado: são as deformações normais máximas e mínimas que ocorrem em direções onde o cisalhamento local é nulo.
  • Valor máximo da deformação de cisalhamento (engenharia) no plano: \gamma_\text{max}=2R.Observação: este é o valor máximo de \gamma que aparece em alguma orientação do elemento no plano.
  • Orientação das direções principais (ângulo \theta_p medido a partir do eixo x até o eixo principal que corresponde a \varepsilon_1): \tan(2\theta_p)=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}.Nota didática: o ângulo no círculo de Mohr é o dobro do ângulo físico. Assim, ao calcular 2\theta_p pela arctan, divide-se por 2 para obter o ângulo físico \theta_p. Há ambiguidade de 90^\circ (duas direções principais), então normalmente damos \theta_p e \theta_p+90^\circ.
  • Orientação para cisalhamento máximo: ocorre em planos com \theta_s=\theta_p+45^\circ,porque na Mohr o ponto de máximo cisalhamento está a 90^\circ no círculo (o que corresponde a 45^\circ fisicamente).

Passo 3

Cálculos intermediários (faça as contas à prova de prova, sem pular etapas):
Calcule a deformação normal média:
\varepsilon_\text{m}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}=\frac{180\times10^{-6}+(-120)\times10^{-6}}{2}=\frac{60\times10^{-6}}{2}=30\times10^{-6}.
Calcule \dfrac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2} e \dfrac{\gamma_{xy}}{2}:
\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}=\frac{180\times10^{-6}-(-120)\times10^{-6}}{2}=\frac{300\times10^{-6}}{2}=150\times10^{-6},
\frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{-100\times10^{-6}}{2}=-50\times10^{-6}.
Agora o raio R:
R=\sqrt{(150\times10^{-6})^{2}+(-50\times10^{-6})^{2}} =\sqrt{22500\times10^{-12}+2500\times10^{-12}} =\sqrt{25000\times10^{-12}}=158{,}113883\times10^{-6}.
Para facilitar, usaremos R\approx158{,}114\times10^{-6}.

Passo 4

Deformações principais (aplicando \varepsilon_{1,2}=\varepsilon_\text{m}\pm R):
\varepsilon_1=\varepsilon_\text{m}+R=30\times10^{-6}+158{,}113883\times10^{-6}=188{,}113883\times10^{-6},
\varepsilon_2=\varepsilon_\text{m}-R=30\times10^{-6}-158{,}113883\times10^{-6}=-128{,}113883\times10^{-6}.
Arredondando razoavelmente para 3 algarismos significativos:
\varepsilon_1\approx188{,}11\times10^{-6},\qquad \varepsilon_2\approx-128{,}11\times10^{-6}.

Passo 5

Orientação das direções principais (usar \tan(2\theta_p)=\dfrac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}):
Calcule o argumento:
\tan(2\theta_p)=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}=\frac{-100\times10^{-6}}{180\times10^{-6}-(-120)\times10^{-6}}=\frac{-100}{300}=-\tfrac{1}{3}\approx-0{,}333333.
Logo
2\theta_p=\arctan\!\left(-\tfrac{1}{3}\right)\approx-18{,}434948^\circ,
\theta_p=\frac{2\theta_p}{2}\approx-9{,}217474^\circ.
Interpretação prática: a direção onde aparece \varepsilon_1 está rotacionada cerca de -9{,}22^\circ (ou seja, 9{,}22^\circ no sentido horário) em relação ao eixo x. A outra direcção principal (de \varepsilon_2) fica a 90^\circ distante:
\theta_{2}=\theta_p+90^\circ\approx80{,}78^\circ.

Passo 6

Deformação de cisalhamento máxima e orientação:
Já temos R. Então
\gamma_\text{max}=2R\approx2\times158{,}113883\times10^{-6}=316{,}227766\times10^{-6}\approx316{,}23\times10^{-6}.
Orientação dos planos de cisalhamento máximo:
\theta_s=\theta_p+45^\circ\approx-9{,}2175^\circ+45^\circ\approx35{,}7825^\circ.
E o outro plano de cisalhamento máximo está a 90^\circ dele, ou seja 125{,}78^\circ.
A deformação normal média (já calculada) é
\varepsilon_\text{m}=30\times10^{-6}.

Passo 7

Significado físico — como o elemento se deforma (descrição prática e números para desenhar na prova):
  • Plano com eixos originais x e y: a partir dos dados, o eixo x sofre alongamento \varepsilon_x=180\times10^{-6} (ou seja, um alongamento de 0{,}0180\%), e o eixo y sofre contração \varepsilon_y=-120\times10^{-6} (contração de 0{,}0120\%). Além disso, há um cisalhamento \gamma_{xy}=-100\times10^{-6} que causa uma pequena alteração de ângulo entre as direções originais (mudança do ângulo reto aproximada por \gamma_{xy} em radianos), isto é uma alteração de ângulo de -100\times10^{-6}\\ \text{rad}\approx-0{,}00573^\circ (muito pequena).
  • No sistema de eixos principais (rotacionado em \theta_p\approx-9{,}22^\circ): não existe cisalhamento local. O elemento torna-se um retângulo cujos lados ao longo da direção de \varepsilon_1 se alongam em \varepsilon_1\approx188{,}11\times10^{-6} e ao longo da direção de \varepsilon_2 se contraem em \varepsilon_2\approx-128{,}11\times10^{-6}. Ou seja, se antes o elemento era um quadrado unitário, depois mede aproximadamente 1+188{,}11\times10^{-6} numa direção e 1-128{,}11\times10^{-6} na outra — isto é pura dilatação/contração sem cisalhamento.
  • Nas direções de cisalhamento máximo (em \theta_s\approx35{,}78^\circ): a normal nesses planos é aproximadamente a deformação média \varepsilon_\text{m}=30\times10^{-6}, e o cisalhamento atinge \gamma_\text{max}\approx316{,}23\times10^{-6}. Isso significa que, se alinhar o elemento nessas direções, a principal mudança será uma rotação/ deslocamento tangencial relativa (cisalhamento) grosseiramente maior do que no sistema original.
  • Resumo intuitivo: para desenhar na prova — trace um quadrado; rotacione os eixos em -9{,}22^\circ. Ao longo do eixo principal maior o quadrado estica ligeiramente; ao longo do outro eixo principal ele aperta. Para mostrar cisalhamento máximo, rotacione 35{,}78^\circ e desenhe as faces inclinadas de modo que uma deslize relativamente à outra por uma pequena distância proporcional a \gamma_\text{max}.
Observação encorajadora: todos esses números são muito pequenos (ordem de 10^{-4} a 10^{-6}), então as deformações visuais são quase imperceptíveis, mas matematicamente é importante reportá-las com precisão para a prova.

Resposta

(a) \varepsilon_1\approx188{,}11\times10^{-6} em \theta_1\approx-9{,}22^\circ (a partir de x); \varepsilon_2\approx-128{,}11\times10^{-6} em \theta_2\approx80{,}78^\circ.
(b) \gamma_\text{max}\approx316{,}23\times10^{-6}; \varepsilon_\text{m}=30\times10^{-6}.

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