- Um oscilador harmónico possui massa
. constante de amortecimento
, e rigidez
. Determinar a amplitude da resposta a uma força harmônica de magnitude
e frequência:
(a)
;
(b)
;
(c)
(b)
(c)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- massa:
. - amortecimento:
. - rigidez:
. - amplitude da força excitadora:
.
O enunciado pede a amplitude da resposta (amplitude estacionária
) para três frequências:
- (a)
valor ilegível no enunciado (texto aparece como “ ”); - (b)
; - (c)
valor ilegível no enunciado (texto aparece como “ ”).
Observação importante: os valores de
em (a) e (c) estão ilegíveis/ambíguos no enunciado que você me enviou; por isso não é possível calcular numericamente as amplitudes de (a) e (c) sem que esse dado seja corrigido. A seguir eu explico a teoria, mostro a fórmula que você deverá usar e calculo detalhadamente o caso (b) que está legível.
Passo 2
Princípio e fórmula que usaremos (aulas em linguagem simples):
Um oscilador massa-mola-amortecedor forçado por uma força harmônica
tem, na resposta estacionária (após desaparecerem as transientes), um movimento harmônico com a mesma frequência da força, ou seja
, onde
é a amplitude estacionária que queremos e
é o defasamento.
A amplitude
é dada pela fórmula (que resulta de resolver a equação do movimento no regime estacionário):
Explicando cada símbolo:
-
: amplitude de oscilação (em metros) quando a excitação tem frequência . -
: amplitude da força aplicada (em newtons). -
: rigidez da mola (em ). -
: massa (em ). -
: coeficiente de amortecimento (em ). -
: frequência angular da força (em ).
Breve intuição: o termo
representa a “parte elástica efetiva” (diferença entre rigidez e inércia dinâmica) e
representa a dissipação pela amortecimento. A amplitude resulta da divisão da força pela “impedância” dinâmica do sistema.
Passo 3
Antes de calcular, é útil determinar a frequência natural e o fator de amortecimento para interpretar o resultado:
A frequência natural (não amortecida) é
Com nossos valores:
O coeficiente de amortecimento adimensional (razão de amortecimento) é
Com nossos valores:
Interpretação curta e amiga:
é a frequência natural; o sistema está subamortecido (
), com
. Assim, a resposta terá pico próximo de
próximo de
, mas o amortecimento reduz o pico.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula para a frequência do item (b), que é legível:
.
Calcule passo a passo os termos do denominador da fórmula
.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular os quadrados:
- Somar e extrair raiz quadrada:
(Usei aproximação numérica para a raiz; o valor exato da raiz pode ser escrito como
.)
- Finalmente a amplitude
:
Conversão prática:
. Ou seja, a massa oscila com amplitude de cerca de
para
.
Passo 5
Comentários finais rápidos (motivação para prova):
- A fórmula que usei é padrão para regimes estacionários; memorize-a e saiba calcular
e separadamente. - Observe que
está perto da frequência natural ; por isso haveria tendência a amplificação, mas o amortecimento ( ) limita o pico, resultando na amplitude pequena calculada. - Se você tiver outro valor de
(por exemplo para (a) e (c)), basta substituir esse na mesma fórmula e refazer os passos numéricos que eu mostrei.
Passo 6
Sobre os itens (a) e (c): como explicado no Passo 1, os valores de
nesses itens estão ilegíveis no enunciado que foi enviado. Por isso não há como fornecer os valores numéricos de amplitude para (a) e (c) sem o valor correto de
. Se você confirmar os valores corretos de
, eu faço os cálculos passo a passo exatamente como fiz no item (b).
Resposta
(a) Não é possível determinar: valor de
ilegível no enunciado.
(b) (aprox.
).
(c) Não é possível determinar: valor de ilegível no enunciado.
(b)
(c) Não é possível determinar: valor de