1. Qual é a condição básica para se obter o polinômio interpolador?

Passo 1

O que a pergunta pede: “Qual é a condição básica para se obter o polinômio interpolador?”
Informações dadas (implícitas na pergunta): temos um conjunto de pontos de dados (x_0,y_0), (x_1,y_1), \dots, (x_n,y_n) e queremos um polinômio que passe por todos esses pontos. A pergunta quer saber qual condição mínima sobre esses pontos garante que exista (e seja único) um polinômio interpolador.

Passo 2

Definição prática do problema de interpolação (explicação didática):
Estamos procurando um polinômio P(x) de grau no máximo n tal que
P(x_i)=y_i\quad\text{para }i=0,1,\dots,n.
Aqui n é escolhido de modo que haja n+1 pontos e o polinômio tenha grau ≤ n. Cada x_i é chamado de abscissa e cada y_i de ordenada do ponto correspondente.

Passo 3

Enunciado da condição básica (resposta direta explicada):
A condição básica é que as abscissas sejam todas distintas, isto é,
x_i \neq x_j\quad\text{sempre que }i\neq j.
Se houver repetição de abscissas ( x_i=x_j com y_i\neq y_j), não existe polinômio que passe pelos dois pontos com a mesma abscissa. Se x_i=x_j e y_i=y_j, os pontos coincidem e não fornecem nova informação.

Passo 4

Por que a distinção das abscissas garante unicidade (prova didática):
Suponha que existam dois polinômios P e Q de grau ≤ n que interpolam os mesmos pontos, ou seja, P(x_i)=Q(x_i)=y_i para i=0,\dots,n. Considere o polinômio
R(x)=P(x)-Q(x).
Temos R(x_i)=0 para i=0,\dots,n, logo R tem pelo menos n+1 raízes distintas. Mas R tem grau ≤ n (diferença de polinômios de grau ≤ n), e um polinômio não nulo de grau ≤ n não pode ter mais do que n raízes distintas. Portanto R é o polinômio zero e P\equiv Q. Conclusão: o polinômio interpolador é único quando os x_i são distintos.

Passo 5

Por que a distinção das abscissas garante existência (construção via fórmula de Lagrange):
A existência é dada explicitamente pela fórmula de Lagrange. Definimos as bases de Lagrange L_j(x) por
L_j(x)=\prod_{\substack{0\le m\le n\\\ m\neq j}}\frac{x-x_m}{x_j-x_m}\quad\text{para }j=0,\dots,n.
Cada L_j é um polinômio de grau n que satisfaz L_j(x_k)=0 se k\neq j e L_j(x_j)=1. Então o polinômio
P(x)=\sum_{j=0}^{n} y_j\,L_j(x)
satisfaz P(x_i)=y_i para todo i. A construção usa divisões por (x_j-x_m), então precisa que x_j-x_m\neq0, ou seja, que os x_i sejam distintos.

Passo 6

Outra visão — sistema linear e determinante de Vandermonde (intuição algébrica):
Outra forma é montar o sistema linear para os coeficientes a_0,\dots,a_n do polinômio
P(x)=a_0+a_1 x+\dots+a_n x^n
impondo P(x_i)=y_i. A matriz desse sistema é a matriz de Vandermonde
V=\begin{pmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n\\[4pt] 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n\\[4pt] \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\[4pt] 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é
\det(V)=\prod_{0\le i<j\le n}(x_j-x_i),
que é diferente de zero exatamente quando todos os x_i são distintos. Se \det(V)\neq0, o sistema tem solução única — outra forma de ver existência e unicidade.]

Passo 7

Exemplo concreto pequeno (para consolidar):
Suponha os pontos (0,1),(1,3),(2,7). Aqui n=2 e as abscissas 0,1,2 são distintas. Pela fórmula de Lagrange podemos construir L_0,L_1,L_2 e obter um polinômio quadrático que passa por esses três pontos — existe e é único. (Não fizemos a conta inteira aqui, mas a construção segue os passos dados no Passo 5.)

Passo 8

O que acontece se a condição não for satisfeita (observações importantes para a prova):
  • Se para alguns i\neq j tivermos x_i=x_j e y_i\neq y_j, então não existe polinômio que interpole ambos os pontos.
  • Se x_i=x_j e y_i=y_j, os pontos repetidos não acrescentam condição nova; na prática você ignora duplicatas.
  • Se você precisa interpolar valores e derivadas em pontos repetidos, aí entra a interpolação de Hermite (problema diferente).

Passo 9

Resumo final e dica de prova curta para usar na prova:
Sempre verifique se as abscissas são todas diferentes. Para mostrar unicidade use o argumento do polinômio diferença com muitas raízes; para mostrar existência cite a fórmula de Lagrange ou o fato de que a matriz de Vandermonde tem determinante \prod_{i<j}(x_j-x_i), não nulo quando os x_i são distintos. Isso resolve a questão de forma rápida e elegante na prova.

Resposta

Os pontos (x_i,y_i) devem ter abscissas todas distintas, isto é, x_i\neq x_j para todo i\neq j; nessa condição existe e é único um polinômio de grau \le n que interpola os n+1 pontos.

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