O enunciado dá o sistema linear com quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\) e três equações, e pede para (1) resolver o sistema pelo Método de Eliminação de Gauss com pivoteamento e (2) calcular o determinante da matriz dos coeficientes. As equações são:
\[\begin{cases} x_{1}+2x_{2}-x_{3}= -4,\\[4pt] - x_{2}+x_{3}-x_{4}= 0,\\[4pt] 4x_{1}-3x_{2}+x_{4}= -10. \end{cases}
Vou aplicar pivoteamento parcial (troca de linhas para escolher o maior pivô em módulo na coluna atual), porque isso melhora a estabilidade numérica e é o que o enunciado pediu. Repare que a matriz tem 3 linhas e 4 colunas (não é quadrada).]
Passo 3
Conceito rápido e útil antes de mexer nos números:
Pivoteamento parcial: em cada coluna j, entre as linhas j, j+1,\dots escolhe-se a linha com o maior valor absoluto na coluna j e troca-se com a linha j. Isso evita pivôs próximos de zero.
Operação de eliminação: para zerar um elemento a_{i j} abaixo do pivô a_{j j} usamos a operação R_i \leftarrow R_i - m_{i j} R_j com m_{i j} = \dfrac{a_{i j}}{a_{j j}}. Adicionar múltiplos de linhas não altera o determinante; trocar linhas muda o sinal do determinante.
Agora aplico essas ideias passo a passo.
Passo 4
Coluna 1: os valores na coluna são |1|,|0|,|4|. O maior em módulo é |4| (linha 3). Então trocamos a linha 1 com a linha 3 (pivoteamento). Essa troca inverte o sinal do determinante (contamos 1 troca até agora). Após a troca:
Agora o pivô na posição (1,1) é a_{11}=4. Vamos zerar a entrada abaixo dele na coluna 1. A linha 2 já tem 0 na coluna 1, então nada a fazer para R_2. Para R_3 calculamos
m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{1}{4}.
Fazemos R_3 \leftarrow R_3 - m_{31}R_1. Calculemos componente a componente:
nova entrada (3,2): 2 - \frac{1}{4}(-3)=2+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}.
nova entrada (3,3): -1 - \frac{1}{4}\cdot 0 = -1.
nova entrada (3,4): 0 - \frac{1}{4}\cdot 1 = -\frac{1}{4}.
novo termo independente: -4 - \frac{1}{4}(-10)=-4+\frac{10}{4}=-4+\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}.
Agora coluna 2: entre as linhas 2 e 3 (submatriz abaixo do pivô de coluna 2), comparamos os valores em módulo na coluna 2: |-1|=1 (linha 2) e \left|\tfrac{11}{4}\right|=\tfrac{11}{4}=2{,}75 (linha 3). O maior é \tfrac{11}{4} (linha 3), então trocamos R_2 e R_3. Essa é a segunda troca de linhas, portanto o determinante troca de sinal novamente (duas trocas → sinal volta ao original). Após a troca:
A operação é R_3\leftarrow R_3 - m_{32} R_2. Como m_{32}=-\tfrac{4}{11}, isso equivale a R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{4}{11}R_2. Calculemos componente a componente:
nova entrada (3,3): 1 + \tfrac{4}{11}\cdot (-1)=1-\tfrac{4}{11}=\tfrac{7}{11}.
nova entrada (3,4): -1 + \tfrac{4}{11}\cdot\left(-\tfrac{1}{4}\right)=-1-\tfrac{1}{11}=-\tfrac{12}{11}.
novo termo independente: 0 + \tfrac{4}{11}\cdot\left(-\tfrac{3}{2}\right)= -\tfrac{12}{22}=-\tfrac{6}{11}.
Agora a parte esquerda (matriz de coeficientes reduzida pela eliminação) está em forma triangular superior (considerando as três primeiras colunas pivotantes).]
Passo 8
Observe que a matriz original tem 3 equações e 4 incógnitas. Isso significa que, se o sistema for consistente e o posto for 3, teremos infinitas soluções com um parâmetro livre. Do que obtivemos, a última linha (linha 3) dá uma equação envolvendo x_{3} e x_{4}:
Verificação rápida (só para ficar mais confiante): tomando t=0 obtemos \big(-\tfrac{22}{7},-\tfrac{6}{7},-\tfrac{6}{7},0\big). Substituindo nas três equações originais obtém-se -4,0,-10 nos termos direitos, então está correto (confere com o sistema).
Quanto ao determinante pedido: a matriz de coeficientes A é de tamanho 3\times 4 (não é quadrada). O determinante só é definido para matrizes quadradas. Portanto não existe (não faz sentido) calcular \det(A) para essa matriz retangular. Se fosse necessário um determinante, teria de ser especificada uma matriz quadrada (por exemplo uma submatriz 3\times3 escolhida), mas o enunciado deu a matriz 3\times4 e, assim, não tem determinante.
Resposta
\displaystyle x_{1}=-\frac{22}{7}+\frac{2}{7}t\ \displaystyle x_{2}=-\frac{6}{7}+\frac{5}{7}t\ \displaystyle x_{3}=-\frac{6}{7}+\frac{12}{7}t\ \displaystyle x_{4}=t,\quad t\in\mathbb{R}\
O determinante da matriz de coeficientes não existe, pois a matriz é 3\times4 (não é quadrada).