Considere o sistema linear A x=b. Se A for mal condicionado, um resíduo muito pequeno pode não garantir uma boa solução. Além disso, mesmo uma boa solução pode apresentar resíduos grandes. Os itens abaixo ilustram estas afirmativas.
Seja agora x=[1,0]^{T}. Neste caso a solução exata é x^{*}=[-1000,1000]^{T}. Calcule o resíduo associado à solução levemente perturbada \mathrm{x}=[-1001,1000]^{T} e discuta o resultado.

Passo 1

Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado dá):
\;A x = b é o sistema (a matriz A não foi dada numericamente).
\;b = \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix} (no enunciado esse vetor apareceu como x=[1,0]^T; aqui estou interpretando-o como o lado direito do sistema).
\;x^{*} = \begin{pmatrix}-1000\\[2pt]1000\end{pmatrix} é a solução exata do sistema, ou seja \;A x^{*}=b.
\;\tilde{x} = \begin{pmatrix}-1001\\[2pt]1000\end{pmatrix} é a solução levemente perturbada (difere de x^{*} em 1 na primeira componente).]

Passo 2

Definição do resíduo: o resíduo associado a uma aproximação \tilde{x} é o vetor
r \;=\; b - A\tilde{x}.
Expliquei: aqui r mede quanto o produto A\tilde{x} falha em reproduzir o lado direito b. Todas as letras: b é o vetor do lado direito, A é a matriz do sistema, \tilde{x} é a solução aproximada, e r é o resíduo resultante.

Passo 3

Relacionando resíduo e erro exato: escrevendo o erro na solução como
e \;=\; \tilde{x}-x^{*},
temos
r = b - A\tilde{x} = A x^{*} - A\tilde{x} = A(x^{*}-\tilde{x}) = -A e.
Isso é uma identidade útil: o resíduo é a imagem, pela matriz A, do erro (com sinal trocado). Vou usar essa forma para calcular o resíduo.

Passo 4

Calcule o vetor diferença (erro entre a aproximada e a exata):
e \;=\; \tilde{x}-x^{*} = \begin{pmatrix}-1001\\[2pt]1000\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1000\\[2pt]1000\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Portanto
x^{*}-\tilde{x} = -e = \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Usando a igualdade do Passo 3, o resíduo fica
r \;=\; A(x^{*}-\tilde{x}) \;=\; A \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Ou seja, o resíduo é exatamente a primeira coluna de A. Como o enunciado não fornece explicitamente os elementos de A, não dá para avaliar numericamente cada componente de r. O cálculo simbólico está completo: o resíduo é A aplicado ao vetor \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Discussão do significado (didática, passo a passo, e relação com condicionamento):
  • O erro na solução foi muito pequeno em tamanho absoluto: \|\tilde{x}-x^{*}\|_{2}=1. Em termos relativos, tomando a norma 2, \frac{\|\tilde{x}-x^{*}\|_{2}}{\|x^{*}\|_{2}} = \frac{1}{\sqrt{(-1000)^{2}+1000^{2}}} = \frac{1}{1000\sqrt{2}}\approx 7{,}07\times 10^{-4},ou seja, um erro relativo muito pequeno.
  • Contudo o resíduo vale r=A\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}: se a primeira coluna de A tiver norma grande, então \|r\| pode ser grande — mesmo que o erro em \tilde{x} seja pequeno. Em palavras: a matriz A pode amplificar esse pequeno erro no domínio para um resíduo grande no contradomínio.
  • A relação entre erro e resíduo é quantificada por limites padrão: \|r\| \le \|A\|\,\|e\|, \qquad \|e\| \le \|A^{-1}\|\,\|r\|,onde \|\cdot\| é uma norma consistente (por exemplo norma-2). Da segunda desigualdade vemos que, se \|A^{-1}\| é grande (isto é, A é mal condicionado), um resíduo pequeno pode corresponder a um erro grande; reciprocamente, mesmo um erro pequeno pode produzir um resíduo grande se \|A\| for grande ou se a primeira coluna de A for grande.
  • Conclusão prática para o exemplo: sem conhecer A não se pode dar o valor numérico de r, mas a forma obtida mostra o ponto didático desejado — um ajuste minúsculo na solução (mudança de 1 numa componente de magnitude 1000) pode corresponder a um resíduo que depende fortemente das colunas de A. Portanto, analisar apenas o resíduo sem considerar o condicionamento de A pode enganar: um resíduo pequeno não garante solução precisa e, inversamente, uma solução precisa pode ter resíduo relativamente grande, dependendo de A.]

Resposta

\;r \;=\; A\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}.\n
Sem conhecer os elementos de A não é possível fornecer r numericamente; qualitativamente, um erro absoluto de 1 em x (relativamente muito pequeno) pode produzir um resíduo grande se a primeira coluna de A tiver norma grande — ilustrando o papel do condicionamento da matriz.]

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