Considere o sistema linear
. Se A for mal condicionado, um resíduo muito pequeno pode não garantir uma boa solução. Além disso, mesmo uma boa solução pode apresentar resíduos grandes. Os itens abaixo ilustram estas afirmativas.
Seja agora
. Neste caso a solução exata é
. Calcule o resíduo associado à solução levemente perturbada
e discuta o resultado.
Seja agora
Passo 1
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado dá):
é o sistema (a matriz
não foi dada numericamente).
Passo 2
Definição do resíduo: o resíduo associado a uma aproximação
é o vetor
Expliquei: aqui
mede quanto o produto
falha em reproduzir o lado direito
. Todas as letras:
é o vetor do lado direito,
é a matriz do sistema,
é a solução aproximada, e
é o resíduo resultante.
Passo 3
Relacionando resíduo e erro exato: escrevendo o erro na solução como
temos
Isso é uma identidade útil: o resíduo é a imagem, pela matriz
, do erro (com sinal trocado). Vou usar essa forma para calcular o resíduo.
Passo 4
Calcule o vetor diferença (erro entre a aproximada e a exata):
Portanto
Passo 5
Usando a igualdade do Passo 3, o resíduo fica
Ou seja, o resíduo é exatamente a primeira coluna de
. Como o enunciado não fornece explicitamente os elementos de
, não dá para avaliar numericamente cada componente de
. O cálculo simbólico está completo: o resíduo é
aplicado ao vetor
.]
Passo 6
Discussão do significado (didática, passo a passo, e relação com condicionamento):
- O erro na solução foi muito pequeno em tamanho absoluto:
. Em termos relativos, tomando a norma 2, ou seja, um erro relativo muito pequeno. - Contudo o resíduo vale
: se a primeira coluna de tiver norma grande, então pode ser grande — mesmo que o erro em seja pequeno. Em palavras: a matriz pode amplificar esse pequeno erro no domínio para um resíduo grande no contradomínio. - A relação entre erro e resíduo é quantificada por limites padrão:
onde é uma norma consistente (por exemplo norma-2). Da segunda desigualdade vemos que, se é grande (isto é, é mal condicionado), um resíduo pequeno pode corresponder a um erro grande; reciprocamente, mesmo um erro pequeno pode produzir um resíduo grande se for grande ou se a primeira coluna de for grande. - Conclusão prática para o exemplo: sem conhecer
não se pode dar o valor numérico de , mas a forma obtida mostra o ponto didático desejado — um ajuste minúsculo na solução (mudança de numa componente de magnitude ) pode corresponder a um resíduo que depende fortemente das colunas de . Portanto, analisar apenas o resíduo sem considerar o condicionamento de pode enganar: um resíduo pequeno não garante solução precisa e, inversamente, uma solução precisa pode ter resíduo relativamente grande, dependendo de .]
Resposta
Sem conhecer os elementos de