Qual a condição de equilíbrio de uma firma monopolista

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar qual é a condição de equilíbrio (ou condição de maximização de lucro) de uma firma monopolista.
Informações que vamos assumir (coisas que normalmente o enunciado fornece ou que são padrão neste tipo de problema):
  • A firma escolhe a quantidade produzida q.
  • Existe uma função preço inversa (demanda) p(q) que dá o preço de mercado quando a firma vende q. Vou deixar claro que p(q) é decrescente em q (normal em demanda).
  • A firma tem função custo total C(q) e custo marginal MC(q)=C'(q).
  • Queremos a condição para a firma maximizar lucro \pi(q).
    Não vou resolver um caso numérico ainda; primeiro explico a teoria passo a passo para você entender e aplicar na prova.

Passo 2

Definir lucro e escrever a função objetivo.
  • Lucro total é receita total menos custo total. A receita total quando vende q é R(q)=p(q)\,q.
  • Logo o lucro é
\pi(q)=R(q)-C(q)=p(q)\,q-C(q).
Explicando: p(q) é o preço por unidade; multiplicando por q vira a receita total. Subtraindo o custo total C(q) obtemos o lucro.

Passo 3

Derivar a condição de primeira ordem (condição necessária para máximo).
  • Para maximizar \pi(q) tomamos derivada em relação a q e igualamos a zero:
\frac{d\pi}{dq}=\frac{d}{dq}\big(p(q)\,q\big)-C'(q)=0.
  • Calcule a derivada da receita: usar regra do produto para p(q)\,q:
\frac{d}{dq}\big(p(q)\,q\big)=p'(q)\,q+p(q).
  • Portanto a condição de primeira ordem fica
p(q)+p'(q)\,q-C'(q)=0.
  • Reescrevendo em palavras: receita marginal = custo marginal. Definimos receita marginal MR(q) por
MR(q)=p(q)+p'(q)\,q,
e custo marginal MC(q)=C'(q). Assim a condição de equilíbrio (primeira ordem) é
MR(q)=MC(q).
Intuição simples: a firma aumenta q enquanto a receita adicional de uma unidade for maior que o custo adicional dessa unidade; no ponto ótimo essas duas quantidades se igualam.

Passo 4

Explicar a forma alternativa usando elasticidade-preço da demanda (útil na prova).
  • Definição da elasticidade-preço da demanda (por quantidade):
\varepsilon=\frac{dq}{dp}\cdot\frac{p}{q}.
Observação: para demanda decrescente, \varepsilon<0.
  • Transformar p'(q) em função de \varepsilon. Da definição temos dq/dp=\varepsilon q/p. Invertendo,
\frac{dp}{dq}=\frac{p}{\varepsilon q}.
  • Substituindo em MR:
MR=p+ p'(q)q = p + \left(\frac{p}{\varepsilon q}\right)q = p\!\left(1+\frac{1}{\varepsilon}\right).
  • Assim a condição MR=MC vira a forma conhecida
p\!\left(1+\frac{1}{\varepsilon}\right)=MC.
  • Isolando a diferença preço–custo relativa (índice de Lerner), obtemos
\frac{p-MC}{p}=-\frac{1}{\varepsilon}.
Interpretação: quanto menos elástica (em valor absoluto) for a demanda (|ε| menor), maior será a margem de preço acima do custo marginal. Isso é útil para calcular preço a partir do custo e da elasticidade na prova.

Passo 5

Condição de segunda ordem (garantir máximo, não mínimo ou ponto de inflexão).
  • Derivada segunda do lucro:
\frac{d^2\pi}{dq^2}=MR'(q)-MC'(q),
onde MR'(q)=\frac{d}{dq}\big(p(q)+p'(q)q\big)=p'(q)+p''(q)q.
  • Para que o ponto que satisfaz MR=MC seja máximo, é necessário (suficiente em muitos casos comuns) que
\frac{d^2\pi}{dq^2}<0 \quad\Longleftrightarrow\quad MR'(q)<MC'(q).
  • Em palavras: a receita marginal deve cair mais rápido (ou ser mais negativa) que o custo marginal cresce, garantindo que cruzamento MR=MC dá um pico de lucro. Na prática, se MC é crescente e MR decrescente, o cruzamento é um máximo.

Passo 6

Exemplo numérico passo a passo (para praticar — faça igual na prova):
Considere p(q)=100-q e C(q)=20q. Então MC=20.
  • Calcular MR:
MR=p+ p'(q)q=(100-q)+(-1)\,q=100-2q.
  • Igualar MR a MC:
100-2q=20 \quad\Rightarrow\quad 2q=80 \quad\Rightarrow\quad q=40.
  • Preço:
p(40)=100-40=60.
  • Verificar segunda ordem: MR'(q)=-2 e MC'(q)=0, logo MR'<MC' e é máximo.
  • Lucro seria \pi=(p-MC)q=(60-20)\cdot40=1600.
    Esse é exatamente o procedimento que você deve fazer na prova: achar MR, igualar a MC, resolver para q, obter p, checar segunda ordem.

Passo 7

Dicas práticas para prova (o que costuma cair e erros comuns)
  • Sempre escreva a receita marginal MR=p(q)+p'(q)q. Não confunda com simplesmente p.
  • Se o enunciado dá demanda q(p) em vez de p(q), converta ou use elasticidade com cuidado: ao usar q(p) derive receita R(p)=p\cdot q(p) e maximize em p (então use dR/dp=C'(q)\,dq/dp com atenção).
  • Cheque a segunda ordem (às vezes enunciado pede verificar máximo). Em exercícios típicos, MC crescente + MR decrescente garante máximo.
  • Se não houver cruzamento interior (por exemplo MC sempre maior que MR para todo q>0), o ótimo pode ser q=0 (fermar não produzir). Verifique extremos e viabilidade.

Resposta

Condição de primeira ordem: \displaystyle MR(q)=MC(q), isto é, \displaystyle p(q)+p'(q)\,q=C'(q).
Condição equivalente em termos de elasticidade: \displaystyle p\!\left(1+\frac{1}{\varepsilon}\right)=MC e índice de Lerner \displaystyle \frac{p-MC}{p}=-\frac{1}{\varepsilon}.
Condição de segunda ordem (para máximo): \displaystyle \frac{d^2\pi}{dq^2}<0 (equivalente a \displaystyle MR'(q)<MC'(q)).

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