Qual a condição de equilíbrio de uma firma monopolista
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar qual é a condição de equilíbrio (ou condição de maximização de lucro) de uma firma monopolista.
Informações que vamos assumir (coisas que normalmente o enunciado fornece ou que são padrão neste tipo de problema):
Informações que vamos assumir (coisas que normalmente o enunciado fornece ou que são padrão neste tipo de problema):
- A firma escolhe a quantidade produzida
. - Existe uma função preço inversa (demanda)
que dá o preço de mercado quando a firma vende . Vou deixar claro que é decrescente em (normal em demanda). - A firma tem função custo total
e custo marginal . - Queremos a condição para a firma maximizar lucro
.
Não vou resolver um caso numérico ainda; primeiro explico a teoria passo a passo para você entender e aplicar na prova.
Passo 2
Definir lucro e escrever a função objetivo.
- Lucro total é receita total menos custo total. A receita total quando vende
é . - Logo o lucro é
Explicando:
é o preço por unidade; multiplicando por
vira a receita total. Subtraindo o custo total
obtemos o lucro.
Passo 3
Derivar a condição de primeira ordem (condição necessária para máximo).
- Para maximizar
tomamos derivada em relação a e igualamos a zero:
- Calcule a derivada da receita: usar regra do produto para
:
- Portanto a condição de primeira ordem fica
- Reescrevendo em palavras: receita marginal
custo marginal. Definimos receita marginal por
e custo marginal
. Assim a condição de equilíbrio (primeira ordem) é
Intuição simples: a firma aumenta
enquanto a receita adicional de uma unidade for maior que o custo adicional dessa unidade; no ponto ótimo essas duas quantidades se igualam.
Passo 4
Explicar a forma alternativa usando elasticidade-preço da demanda (útil na prova).
- Definição da elasticidade-preço da demanda (por quantidade):
Observação: para demanda decrescente,
.
- Transformar
em função de . Da definição temos . Invertendo,
- Substituindo em
:
- Assim a condição
vira a forma conhecida
- Isolando a diferença preço–custo relativa (índice de Lerner), obtemos
Interpretação: quanto menos elástica (em valor absoluto) for a demanda (|ε| menor), maior será a margem de preço acima do custo marginal. Isso é útil para calcular preço a partir do custo e da elasticidade na prova.
Passo 5
Condição de segunda ordem (garantir máximo, não mínimo ou ponto de inflexão).
- Derivada segunda do lucro:
onde
.
- Para que o ponto que satisfaz
seja máximo, é necessário (suficiente em muitos casos comuns) que
- Em palavras: a receita marginal deve cair mais rápido (ou ser mais negativa) que o custo marginal cresce, garantindo que cruzamento MR=MC dá um pico de lucro. Na prática, se
é crescente e decrescente, o cruzamento é um máximo.
Passo 6
Exemplo numérico passo a passo (para praticar — faça igual na prova):
Considere e
. Então
.
Considere
- Calcular
:
- Igualar
a :
- Preço:
- Verificar segunda ordem:
e , logo e é máximo. - Lucro seria
.
Esse é exatamente o procedimento que você deve fazer na prova: achar, igualar a , resolver para , obter , checar segunda ordem.
Passo 7
Dicas práticas para prova (o que costuma cair e erros comuns)
- Sempre escreva a receita marginal
. Não confunda com simplesmente . - Se o enunciado dá demanda
em vez de , converta ou use elasticidade com cuidado: ao usar derive receita e maximize em (então use com atenção). - Cheque a segunda ordem (às vezes enunciado pede verificar máximo). Em exercícios típicos,
crescente + decrescente garante máximo. - Se não houver cruzamento interior (por exemplo
sempre maior que para todo ), o ótimo pode ser (fermar não produzir). Verifique extremos e viabilidade.
Resposta
Condição de primeira ordem:
, isto é,
.
Condição equivalente em termos de elasticidade: e índice de Lerner
.
Condição de segunda ordem (para máximo): (equivalente a
).
Condição equivalente em termos de elasticidade:
Condição de segunda ordem (para máximo):