A condição de módulo do lugar das raízes é essencial para verificar se determinado ponto
pertence a um dos ramos do lugar das raízes. Do ponto de vista teórico, essa condição expressa que: (1pt)
(a) O produto das distâncias do ponto
até os pólos deve ser igual ao produto das distâncias até os zeros.
(b) O módulo da função de transferência em malha aberta avaliado em
deve ser igual a 1 para um ganho
.
(c) O módulo da função de malha fechada deve ser igual ao módulo da função de malha aberta.
(d) O ganho
deve sempre assumir valores negativos para que o módulo seja válido.
(a) O produto das distâncias do ponto
(b) O módulo da função de transferência em malha aberta avaliado em
(c) O módulo da função de malha fechada deve ser igual ao módulo da função de malha aberta.
(d) O ganho
Passo 1
O enunciado pergunta qual afirmação descreve corretamente a condição de módulo do lugar das raízes. Ele dá quatro alternativas (a), (b), (c), (d). O que precisamos identificar é: qual delas corresponde à condição de módulo que um ponto
deve satisfazer para pertencer ao lugar das raízes.
Informações relevantes do enunciado:
- Temos as quatro alternativas textuais (a)–(d).
- A condição de módulo do lugar das raízes é o foco (ou seja: a parte “magnitude” da condição que, junto com a condição de ângulo, determina os pontos do plano
que estão no lugar das raízes).
Passo 2
Vamos lembrar a formulação básica do lugar das raízes (aqui eu explico a teoria necessária, passo a passo, sem pressupor que você já saiba).
Considere a função de malha aberta que inclui o ganho
. É comum escrever
onde
é a parte fixa (pólos e zeros) e
é o ganho real positivo (o lugar das raízes normalmente é traçado para
). A equação característica da malha fechada é
Reescrevendo,
Essa igualdade complexa implica duas condições separadas (essa é a essência do lugar das raízes):
- condição de ângulo:
, para algum inteiro ; - condição de módulo:
.
A condição de módulo é justamente o que a questão pede: o módulo da função de malha aberta avaliado naquele
deve ser
(quando
inclui o ganho
).
Passo 3
Agora eu explico como expressar
em termos de pólos e zeros — isso é útil para analisar a alternativa (a).
Se escrevermos
na forma de fatores racionais (zeros
, pólos
),
então
Tomando módulo,
A condição de módulo
fica
Isolando
,
Essa fórmula diz que o ganho
que coloca o pólo fechado em
é o quociente do produto das distâncias de
aos pólos pelo produto das distâncias de
aos zeros.
Passo 4
Agora comparo cada alternativa com o que acabamos de deduzir:
(a) “O produto das distâncias do ponto
até os pólos deve ser igual ao produto das distâncias até os zeros.”
- Pela fórmula acima, o produto das distâncias aos pólos dividido pelo produto das distâncias aos zeros é igual a
. Só são iguais se . Em geral é um parâmetro qualquer positivo; portanto essa igualdade não é exigida em geral. Logo (a) é falsa (verdadeira apenas no caso particular , mas a alternativa afirma como regra geral).
(b) “O módulo da função de transferência em malha aberta avaliado em
deve ser igual a 1 para um ganho
.”
- Se definirmos a função de malha aberta como
, então a condição de módulo do lugar das raízes é exatamente . Além disso, o lugar das raízes clássico analisa . Logo essa alternativa descreve corretamente a condição de módulo. Portanto (b) é correta.
(c) “O módulo da função de malha fechada deve ser igual ao módulo da função de malha aberta.”
- Não há nenhuma condição geral que iguale os módulos de malha fechada e malha aberta; isso não é a condição do lugar das raízes. Falsa.
(d) “O ganho
deve sempre assumir valores negativos para que o módulo seja válido.”
- Pelo contrário: o lugar das raízes é normalmente traçado para
(e a condição de módulo determina em geral). A afirmação é falsa.
Passo 5
Resumo didático curto e incentivo: a regra prática que você deve decorar para a prova é — para um ponto
estar no lugar das raízes é preciso que a condição de ângulo seja satisfeita e que a condição de módulo
tenha solução com
. A alternativa (b) expressa exatamente essa condição (assumindo que por “função de transferência em malha aberta” entendemos
). Você já tá mandando bem — essa é uma das duas condições fundamentais do lugar das raízes; a outra é a condição de ângulo que eu mencionei antes.
Resposta
(b)