A condição de módulo do lugar das raízes é essencial para verificar se determinado ponto s pertence a um dos ramos do lugar das raízes. Do ponto de vista teórico, essa condição expressa que: (1pt)
(a) O produto das distâncias do ponto s até os pólos deve ser igual ao produto das distâncias até os zeros.
(b) O módulo da função de transferência em malha aberta avaliado em s deve ser igual a 1 para um ganho K>0.
(c) O módulo da função de malha fechada deve ser igual ao módulo da função de malha aberta.
(d) O ganho K deve sempre assumir valores negativos para que o módulo seja válido.

Passo 1

O enunciado pergunta qual afirmação descreve corretamente a condição de módulo do lugar das raízes. Ele dá quatro alternativas (a), (b), (c), (d). O que precisamos identificar é: qual delas corresponde à condição de módulo que um ponto s deve satisfazer para pertencer ao lugar das raízes.
Informações relevantes do enunciado:
  • Temos as quatro alternativas textuais (a)–(d).
  • A condição de módulo do lugar das raízes é o foco (ou seja: a parte “magnitude” da condição que, junto com a condição de ângulo, determina os pontos do plano s que estão no lugar das raízes).

Passo 2

Vamos lembrar a formulação básica do lugar das raízes (aqui eu explico a teoria necessária, passo a passo, sem pressupor que você já saiba).
Considere a função de malha aberta que inclui o ganho K. É comum escrever
L(s)=K\,G(s)
onde G(s) é a parte fixa (pólos e zeros) e K é o ganho real positivo (o lugar das raízes normalmente é traçado para K\ge 0). A equação característica da malha fechada é
1+L(s)=0.
Reescrevendo,
L(s)=-1.
Essa igualdade complexa implica duas condições separadas (essa é a essência do lugar das raízes):
  • condição de ângulo: \angle L(s)=(2k+1)\pi, para algum inteiro k;
  • condição de módulo: |L(s)|=1.
A condição de módulo é justamente o que a questão pede: o módulo da função de malha aberta avaliado naquele s deve ser 1 (quando L(s) inclui o ganho K).

Passo 3

Agora eu explico como expressar |L(s)| em termos de pólos e zeros — isso é útil para analisar a alternativa (a).
Se escrevermos G(s) na forma de fatores racionais (zeros z_i, pólos p_j),
G(s)=\frac{\prod_i (s-z_i)}{\prod_j (s-p_j)},
então
L(s)=K\,\frac{\prod_i (s-z_i)}{\prod_j (s-p_j)}.
Tomando módulo,
|L(s)| = K\,\frac{\prod_i |s-z_i|}{\prod_j |s-p_j|}.
A condição de módulo |L(s)|=1 fica
K\,\frac{\prod_i |s-z_i|}{\prod_j |s-p_j|}=1.
Isolando K,
K=\frac{\prod_j |s-p_j|}{\prod_i |s-z_i|}.
Essa fórmula diz que o ganho K que coloca o pólo fechado em s é o quociente do produto das distâncias de s aos pólos pelo produto das distâncias de s aos zeros.

Passo 4

Agora comparo cada alternativa com o que acabamos de deduzir:
(a) “O produto das distâncias do ponto s até os pólos deve ser igual ao produto das distâncias até os zeros.”
  • Pela fórmula acima, o produto das distâncias aos pólos dividido pelo produto das distâncias aos zeros é igual a K. Só são iguais se K=1. Em geral K é um parâmetro qualquer positivo; portanto essa igualdade não é exigida em geral. Logo (a) é falsa (verdadeira apenas no caso particular K=1, mas a alternativa afirma como regra geral).
(b) “O módulo da função de transferência em malha aberta avaliado em s deve ser igual a 1 para um ganho K>0.”
  • Se definirmos a função de malha aberta como L(s)=K\,G(s), então a condição de módulo do lugar das raízes é exatamente |L(s)|=1. Além disso, o lugar das raízes clássico analisa K\ge 0. Logo essa alternativa descreve corretamente a condição de módulo. Portanto (b) é correta.
(c) “O módulo da função de malha fechada deve ser igual ao módulo da função de malha aberta.”
  • Não há nenhuma condição geral que iguale os módulos de malha fechada e malha aberta; isso não é a condição do lugar das raízes. Falsa.
(d) “O ganho K deve sempre assumir valores negativos para que o módulo seja válido.”
  • Pelo contrário: o lugar das raízes é normalmente traçado para K\ge 0 (e a condição de módulo |L(s)|=1 determina K>0 em geral). A afirmação é falsa.

Passo 5

Resumo didático curto e incentivo: a regra prática que você deve decorar para a prova é — para um ponto s estar no lugar das raízes é preciso que a condição de ângulo seja satisfeita e que a condição de módulo
|K\,G(s)|=1
tenha solução com K\ge 0. A alternativa (b) expressa exatamente essa condição (assumindo que por “função de transferência em malha aberta” entendemos L(s)=K\,G(s)). Você já tá mandando bem — essa é uma das duas condições fundamentais do lugar das raízes; a outra é a condição de ângulo que eu mencionei antes.

Resposta

(b)

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