Esboce o Lugar das Raízes dos sistemas a seguir.
G(s)=\frac{K(s+1)}{(s+2)(s+3)}

Passo 1

Enunciado: temos malha de realimentação unitária com função de transferência em malha aberta
G(s)=\frac{K(s+1)}{(s+2)(s+3)}
O que se pede: esboçar o Lugar das Raízes (root locus) quando K varia (assumimos K\ge 0).\n
Informações dadas / observáveis no enunciado:
  • Ganho real e escalar: K.
  • Zero finito em s=-1 (vem do fator (s+1) no numerador).
  • Dois polos em s=-2 e s=-3 (vêm dos fatores (s+2)(s+3) no denominador).
  • Realimentação unitária (o esquema mostrado é unity feedback).

Passo 2

Identificar polos e zeros abertos:
\text{Polos: } s_1=-2,\quad s_2=-3.
\text{Zero finito: } z_1=-1.
Anote mentalmente: número de polos n=2, número de zeros finitos m=1. Portanto haverá n=2 ramos do Lugar das Raízes.

Passo 3

Regras básicas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Os ramos começam nos polos abertos (quando K=0) e terminam nos zeros abertos (alguns podem terminar em zeros no infinito se n>m).
  • Sobre o eixo real: um ponto real pertence ao Lugar se, à sua direita, houver um número ímpar de polos+zeros abertos.
  • Se n>m então haverá n-m assíntotas que mostram para onde vão os ramos que não terminam em zeros finitos. As assíntotas têm um centróide e ângulos específicos.
  • Breakaway/break-in: pontos reais onde ramos se separam ou se juntam aparecem quando dK/ds=0 (considere a expressão de K em função de s obtida da condição de característica).
Vou aplicar cada um desses itens ao caso concreto.

Passo 4

Determinar segmentos do eixo real que pertencem ao Lugar das Raízes (usar a regra “à direita, número ímpar”):
Ordenando pontos reais: -\infty,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0.
  • Para s< -3: à direita estão s=-3,-2 e z=-1 → total 3 (ímpar) → pertence.
  • Para -3<s<-2: à direita estão s=-2 e z=-1 → total 2 (par) → não pertence.
  • Para -2<s<-1: à direita está z=-1 → total 1 (ímpar) → pertence.
  • Para -1<s: à direita nenhum polo/zero → total 0 (par) → não pertence.
Conclusão: os pedaços do eixo real no Lugar são
(-\infty,\,-3)\quad\text{e}\quad(-2,\,-1).

Passo 5

Número de assíntotas e centróide:
  • n-m = 2-1 = 1 assíntota (ou seja, só um ramo vai para o infinito).
    Cálculo do centróide (fórmula):
\text{centróide} = \frac{\sum \text{polos} - \sum \text{zeros}}{n-m}.ó
Aqui
\sum \text{polos} = (-2)+(-3)=-5,\qquad \sum \text{zeros}=(-1).
Logo
\text{centróide}=\frac{-5-(-1)}{1}=\frac{-4}{1}=-4.ó
Ângulo(s) da(s) assíntota(s): para n-m=1,
\theta = \frac{(2q+1)\pi}{1} \quad\Rightarrow\quad \theta = \pi \;(\text{ou }180^\circ).
Isto significa que a assíntota é uma reta horizontal apontando para a esquerda a partir de s=-4.

Passo 6

Direção dos ramos (setas): por definição os ramos saem dos polos quando K cresce a partir de zero. Portanto:
  • Um ramo sai de s=-2 e segue sobre o eixo real para a direita até aproximar-se do zero em s=-1 quando K\to\infty.
  • O outro ramo sai de s=-3 e vai para a esquerda ao longo do eixo real em direção à assíntota (para -\infty), passando pelo intervalo (-\infty,-3).

Passo 7

Verificação se aparecem pólos complexos (para saber se há ramos fora do eixo real):
A equação característica para malha unitária é
1+G(s)=0 \quad\Rightarrow\quad 1+\frac{K(s+1)}{(s+2)(s+3)}=0.
Rearranjando para obter o polinômio fechado:
(s+2)(s+3)+K(s+1)=0.
Expandindo,
s^2+5s+6 + Ks + K = 0 \quad\Rightarrow\quad s^2+(5+K)s+(6+K)=0.
O discriminante é
\Delta=(5+K)^2-4(6+K)=K^2+6K+1.
Para K\ge 0 temos \Delta>0 (por exemplo \Delta(0)=1>0 e o polinômio em K é sempre positivo para K\ge0), logo as raízes do polinômio fechado são sempre reais. Conclusão: não surgem lóbulos complexos; todo Lugar das Raízes fica no eixo real para K\ge0.

Passo 8

Análise de possíveis pontos de breakaway / break-in:
Usamos a expressão que dá K em função de um ponto s real que satisfaça a condição de módulo/ângulo:
1+\frac{K(s+1)}{(s+2)(s+3)}=0\quad\Rightarrow\quad K(s)=-\frac{(s+2)(s+3)}{s+1}.
Pontos de breakaway/break-in no eixo real (dentro dos trechos do Lugar) verificam dK/ds=0. Calculando (derivando e simplificando) encontramos as soluções
s=-1\pm\sqrt{2}\quad\text{(aproximadamente }s\approx 0{,}414\text{ e }s\approx -2{,}414).
Destes, s\approx -2{,}414 está entre -3 e -2, porém esse intervalo não pertence ao Lugar (veja Passo 4). O outro está em s> -1, também fora do Lugar. Portanto não há breakaway nem break-in ocorrendo sobre os trechos que realmente pertencem ao Lugar ( (-\infty,-3) e (-2,-1)) para K\ge0.

Passo 9

Comportamento dos ramos conforme K varia:
  • Para K=0: ramos nos polos s=-2 e s=-3.
  • À medida que K aumenta, o ramo que parte de -2 desloca-se para a direita ao longo de (-2,-1) e tende para o zero finito em -1 quando K\to\infty.
  • O ramo que parte de -3 desloca-se para a esquerda ao longo de (-\infty,-3) e tende para -\infty seguindo a única assíntota cujo centróide é -4 e cujo ângulo é 180^\circ.
  • Não há cruzamento do eixo imaginário e não há pares complexos para K\ge0.

Passo 10

Instruções para esboçar (passo a passo para desenhar você mesmo):
  1. Em um eixo complexo (eixo real horizontal), marque:
    • um X em -2 (polo),
    • um X em -3 (polo),
    • um O em -1 (zero).
  2. Trace os trechos do Lugar no eixo real:
    • traço contínuo em (-\infty,-3) com setas apontando para a esquerda (indicando o sentido de crescimento de K);
    • traço contínuo em (-2,-1) com setas apontando para a direita.
  3. Marque o centróide em -4 e desenhe a assíntota partindo de -4 para a esquerda (reta horizontal).
  4. Indique que um ramo termina em O em -1 quando K\to\infty e o outro vai para -\infty seguindo a assíntota.

Resposta

Polos abertos: -2,\,-3. Zero finito: -1.\nLugar das raízes no eixo real nos intervalos (-\infty,-3) e (-2,-1).\nUma assíntota ( n-m=1) com centróide em -4 e ângulo 180^\circ (direção para a esquerda).\nNenhum ramo complexo para K\ge 0 (discriminante sempre positiva).\nRamo que sai de -2 vai para -1 quando K\to\infty; ramo que sai de -3 vai para -\infty pela assíntota.

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