Esboce o Lugar das Raízes dos sistemas a seguir.
Passo 1
Enunciado: temos malha de realimentação unitária com função de transferência em malha aberta
O que se pede: esboçar o Lugar das Raízes (root locus) quando
varia (assumimos
).\n
Informações dadas / observáveis no enunciado:
Informações dadas / observáveis no enunciado:
- Ganho real e escalar:
. - Zero finito em
(vem do fator no numerador). - Dois polos em
e (vêm dos fatores no denominador). - Realimentação unitária (o esquema mostrado é unity feedback).
Passo 2
Identificar polos e zeros abertos:
Anote mentalmente: número de polos
, número de zeros finitos
. Portanto haverá
ramos do Lugar das Raízes.
Passo 3
Regras básicas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Os ramos começam nos polos abertos (quando
) e terminam nos zeros abertos (alguns podem terminar em zeros no infinito se ). - Sobre o eixo real: um ponto real pertence ao Lugar se, à sua direita, houver um número ímpar de polos+zeros abertos.
- Se
então haverá assíntotas que mostram para onde vão os ramos que não terminam em zeros finitos. As assíntotas têm um centróide e ângulos específicos. - Breakaway/break-in: pontos reais onde ramos se separam ou se juntam aparecem quando
(considere a expressão de em função de obtida da condição de característica).
Vou aplicar cada um desses itens ao caso concreto.
Passo 4
Determinar segmentos do eixo real que pertencem ao Lugar das Raízes (usar a regra “à direita, número ímpar”):
Ordenando pontos reais: .
Ordenando pontos reais:
- Para
: à direita estão e → total 3 (ímpar) → pertence. - Para
: à direita estão e → total 2 (par) → não pertence. - Para
: à direita está → total 1 (ímpar) → pertence. - Para
: à direita nenhum polo/zero → total 0 (par) → não pertence.
Conclusão: os pedaços do eixo real no Lugar são
Passo 5
Número de assíntotas e centróide:
-
assíntota (ou seja, só um ramo vai para o infinito).
Cálculo do centróide (fórmula):
Aqui
Logo
Ângulo(s) da(s) assíntota(s): para
,
Isto significa que a assíntota é uma reta horizontal apontando para a esquerda a partir de
.
Passo 6
Direção dos ramos (setas): por definição os ramos saem dos polos quando
cresce a partir de zero. Portanto:
- Um ramo sai de
e segue sobre o eixo real para a direita até aproximar-se do zero em quando . - O outro ramo sai de
e vai para a esquerda ao longo do eixo real em direção à assíntota (para ), passando pelo intervalo .
Passo 7
Verificação se aparecem pólos complexos (para saber se há ramos fora do eixo real):
A equação característica para malha unitária é
A equação característica para malha unitária é
Rearranjando para obter o polinômio fechado:
Expandindo,
O discriminante é
Para
temos
(por exemplo
e o polinômio em
é sempre positivo para
), logo as raízes do polinômio fechado são sempre reais. Conclusão: não surgem lóbulos complexos; todo Lugar das Raízes fica no eixo real para
.
Passo 8
Análise de possíveis pontos de breakaway / break-in:
Usamos a expressão que dá em função de um ponto
real que satisfaça a condição de módulo/ângulo:
Usamos a expressão que dá
Pontos de breakaway/break-in no eixo real (dentro dos trechos do Lugar) verificam
. Calculando (derivando e simplificando) encontramos as soluções
Destes,
está entre
e
, porém esse intervalo não pertence ao Lugar (veja Passo 4). O outro está em
, também fora do Lugar. Portanto não há breakaway nem break-in ocorrendo sobre os trechos que realmente pertencem ao Lugar (
e
) para
.
Passo 9
Comportamento dos ramos conforme
varia:
- Para
: ramos nos polos e . - À medida que
aumenta, o ramo que parte de desloca-se para a direita ao longo de e tende para o zero finito em quando . - O ramo que parte de
desloca-se para a esquerda ao longo de e tende para seguindo a única assíntota cujo centróide é e cujo ângulo é . - Não há cruzamento do eixo imaginário e não há pares complexos para
.
Passo 10
Instruções para esboçar (passo a passo para desenhar você mesmo):
- Em um eixo complexo (eixo real horizontal), marque:
- um
em (polo), - um
em (polo), - um
em (zero).
- um
- Trace os trechos do Lugar no eixo real:
- traço contínuo em
com setas apontando para a esquerda (indicando o sentido de crescimento de ); - traço contínuo em
com setas apontando para a direita.
- traço contínuo em
- Marque o centróide em
e desenhe a assíntota partindo de para a esquerda (reta horizontal). - Indique que um ramo termina em
em quando e o outro vai para seguindo a assíntota.
Resposta
Polos abertos:
. Zero finito:
.\nLugar das raízes no eixo real nos intervalos
e
.\nUma assíntota (
) com centróide em
e ângulo
(direção para a esquerda).\nNenhum ramo complexo para
(discriminante sempre positiva).\nRamo que sai de
vai para
quando
; ramo que sai de
vai para
pela assíntota.