Sobre onde os ramos do Lugar das Raízes se originam e onde terminam, é correto afirmar que: (1pt)
(a) Sempre começam em zeros e terminam em pólos.
(b) Começam nos pólos de malha aberta e terminam nos zeros de malha aberta, incluindo zeros no infinito.
(c) Começam nos pólos de malha fechada e terminam no infinito.
(d) Começam nos zeros de malha fechada e terminam nos pólos reais.
(a) Sempre começam em zeros e terminam em pólos.
(b) Começam nos pólos de malha aberta e terminam nos zeros de malha aberta, incluindo zeros no infinito.
(c) Começam nos pólos de malha fechada e terminam no infinito.
(d) Começam nos zeros de malha fechada e terminam nos pólos reais.
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha, entre as alternativas dadas, qual afirmação sobre onde os ramos do Lugar das Raízes (root locus) se originam e onde terminam é correta. As alternativas são:
(a) Sempre começam em zeros e terminam em pólos.
(b) Começam nos pólos de malha aberta e terminam nos zeros de malha aberta, incluindo zeros no infinito.
(c) Começam nos pólos de malha fechada e terminam no infinito.
(d) Começam nos zeros de malha fechada e terminam nos pólos reais.
(a) Sempre começam em zeros e terminam em pólos.
(b) Começam nos pólos de malha aberta e terminam nos zeros de malha aberta, incluindo zeros no infinito.
(c) Começam nos pólos de malha fechada e terminam no infinito.
(d) Começam nos zeros de malha fechada e terminam nos pólos reais.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: é uma pergunta objetiva de escolha múltipla sobre a origem e destino dos ramos do Lugar das Raízes.
Passo 2
Vamos organizar as definições e notação que usaremos (sem resolver ainda). Considere a função de malha aberta
onde
e
são polinômios sem fator comum. Definições importantes:
- Os polos de malha aberta são as raízes de
. - Os zeros de malha aberta são as raízes de
.
A equação característica do sistema em malha fechada com ganho(real, não-negativo) é
ou equivalentemente
Os polos de malha fechada são as soluções
dessa equação para um dado
. O Lugar das Raízes traça a posição desses polos no plano
quando
varia de
até
.
Passo 3
O que ocorre quando
? Substituindo em
obtemos
Portanto, para
os polos de malha fechada são exatamente as raízes de
, ou seja, os polos de malha aberta. Conclusão: os ramos do Lugar das Raízes começam nos polos de malha aberta quando começamos a aumentar
a partir de zero.
Explicação didática curta: imaginar
pequeno é quase não mexer no sistema, então os polos não se moveram — eles iniciam onde já existiam (pólos de malha aberta).
Passo 4
O que ocorre quando
? Reescreva a equação característica dividindo por
:
Tomando o limite
a primeira parcela
tende a zero, então a condição dominante torna-se
Logo, à medida que
cresce muito, as soluções da equação característica aproximam-se das raízes de
, ou seja, dos zeros de malha aberta. Conclusão: os ramos do Lugar das Raízes terminam nos zeros de malha aberta quando
.
Observação importante: se o número de polos
for maior que o número de zeros
, então existem
ramos que não têm zeros finitos para onde convergir; esses ramos “vão para o infinito”. Por convenção dizemos que há
zeros no infinito, e os ramos terminam nesses zeros no infinito.
Passo 5
Vou explicar por que chamamos isso de “zeros no infinito” e como os ramos que vão para o infinito se comportam (isso ajuda a entender a parte da alternativa que menciona “incluindo zeros no infinito”). Para
grande, considere as partes dominantes dos polinômios:
e
. A equação característica para grandes
e grande
pode ser aproximada por
Se
então
é negativo e a equação impõe condições sobre a direção em que
cresce para satisfazer a relação com
. Isso leva à existência de assimptotas dos ramos que vão para o infinito. As propriedades padrão são:
- Número de assimptotas:
. - Centro (centroide) das assimptotas:
- Ângulos das assimptotas:
Essas fórmulas mostram formalmente como os ramos que não têm zeros finitos “terminam no infinito” seguindo direções bem definidas.
Passo 6
Exemplo concreto e simples para fixar a intuição (faça como exercício mental na prova): seja
Aqui
(dois pólos:
e
) e
(nenhum zero finito). Pelo raciocínio anterior:
- Para
os polos de malha fechada estão em e — início dos ramos. - Para
não há zeros finitos, então os ramos vão para o infinito. As assimptotas são , centroide e ângulos , ou seja, ramos simétricos indo verticalmente para cima e para baixo a partir de . Isso demonstra na prática que ramos começam nos pólos de malha aberta e terminam em zeros finitos ou em zeros no infinito.
Passo 7
Agora comparo com as alternativas e explico por que cada uma é correta ou incorreta:
- (a) “Sempre começam em zeros e terminam em pólos.” Incorreta: é ao contrário — para
os polos de malha fechada coincidem com os pólos de malha aberta, logo os ramos começam nos pólos. - (b) “Começam nos pólos de malha aberta e terminam nos zeros de malha aberta, incluindo zeros no infinito.” Correta: corresponde exatamente ao que demonstramos (K=0 → pólos de malha aberta; K→∞ → zeros de malha aberta, e se
alguns terminam no infinito que interpretamos como zeros no infinito). - (c) “Começam nos pólos de malha fechada e terminam no infinito.” Incorreta: os polos de malha fechada dependem de
; o início dos ramos é dado pelos polos de malha aberta (caso ), não polos de malha fechada em geral. Além disso, nem sempre terminam no infinito (se houver zeros finitos, terminam neles). - (d) “Começam nos zeros de malha fechada e terminam nos pólos reais.” Incorreta: não faz sentido geral — zeros de malha fechada não são o ponto de início; e os ramos não necessariamente terminam em polos reais.
Resposta
(b)