Sobre onde os ramos do Lugar das Raízes se originam e onde terminam, é correto afirmar que: (1pt)
(a) Sempre começam em zeros e terminam em pólos.
(b) Começam nos pólos de malha aberta e terminam nos zeros de malha aberta, incluindo zeros no infinito.
(c) Começam nos pólos de malha fechada e terminam no infinito.
(d) Começam nos zeros de malha fechada e terminam nos pólos reais.

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha, entre as alternativas dadas, qual afirmação sobre onde os ramos do Lugar das Raízes (root locus) se originam e onde terminam é correta. As alternativas são:
(a) Sempre começam em zeros e terminam em pólos.
(b) Começam nos pólos de malha aberta e terminam nos zeros de malha aberta, incluindo zeros no infinito.
(c) Começam nos pólos de malha fechada e terminam no infinito.
(d) Começam nos zeros de malha fechada e terminam nos pólos reais.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: é uma pergunta objetiva de escolha múltipla sobre a origem e destino dos ramos do Lugar das Raízes.

Passo 2

Vamos organizar as definições e notação que usaremos (sem resolver ainda). Considere a função de malha aberta
G(s)=\frac{N(s)}{D(s)}
onde N(s) e D(s) são polinômios sem fator comum. Definições importantes:
  • Os polos de malha aberta são as raízes de \,D(s)=0.
  • Os zeros de malha aberta são as raízes de \,N(s)=0.
    A equação característica do sistema em malha fechada com ganho K (real, não-negativo) é
1+K G(s)=0
ou equivalentemente
D(s)+K\,N(s)=0.
Os polos de malha fechada são as soluções s dessa equação para um dado K. O Lugar das Raízes traça a posição desses polos no plano s quando K varia de 0 até +\infty.

Passo 3

O que ocorre quando K=0? Substituindo em \,D(s)+K N(s)=0 obtemos
D(s)+0\cdot N(s)=0 \quad\Rightarrow\quad D(s)=0.
Portanto, para K=0 os polos de malha fechada são exatamente as raízes de \,D(s)=0, ou seja, os polos de malha aberta. Conclusão: os ramos do Lugar das Raízes começam nos polos de malha aberta quando começamos a aumentar K a partir de zero.
Explicação didática curta: imaginar K pequeno é quase não mexer no sistema, então os polos não se moveram — eles iniciam onde já existiam (pólos de malha aberta).

Passo 4

O que ocorre quando K\to+\infty? Reescreva a equação característica dividindo por K:
\frac{D(s)}{K}+N(s)=0.
Tomando o limite K\to+\infty a primeira parcela \frac{D(s)}{K} tende a zero, então a condição dominante torna-se
N(s)=0.
Logo, à medida que K cresce muito, as soluções da equação característica aproximam-se das raízes de N(s)=0, ou seja, dos zeros de malha aberta. Conclusão: os ramos do Lugar das Raízes terminam nos zeros de malha aberta quando K\to\infty.
Observação importante: se o número de polos n=\deg D(s) for maior que o número de zeros m=\deg N(s), então existem n-m ramos que não têm zeros finitos para onde convergir; esses ramos “vão para o infinito”. Por convenção dizemos que há n-m zeros no infinito, e os ramos terminam nesses zeros no infinito.

Passo 5

Vou explicar por que chamamos isso de “zeros no infinito” e como os ramos que vão para o infinito se comportam (isso ajuda a entender a parte da alternativa que menciona “incluindo zeros no infinito”). Para s grande, considere as partes dominantes dos polinômios: D(s)\approx a_n s^n e N(s)\approx b_m s^m. A equação característica para grandes s e grande K pode ser aproximada por
1+K\frac{b_m s^m}{a_n s^n}\approx0 \quad\Rightarrow\quad 1+K\frac{b_m}{a_n}s^{m-n}\approx0.
Se n>m então m-n é negativo e a equação impõe condições sobre a direção em que s cresce para satisfazer a relação com K. Isso leva à existência de assimptotas dos ramos que vão para o infinito. As propriedades padrão são:
  • Número de assimptotas: n-m.
  • Centro (centroide) das assimptotas:
\sigma_a=\frac{\sum \text{pólos} - \sum \text{zeros}}{n-m}.ó
  • Ângulos das assimptotas:
\theta_k=\frac{(2k+1)\pi}{\,n-m\,}\quad\text{para }k=0,1,\dots,n-m-1.
Essas fórmulas mostram formalmente como os ramos que não têm zeros finitos “terminam no infinito” seguindo direções bem definidas.

Passo 6

Exemplo concreto e simples para fixar a intuição (faça como exercício mental na prova): seja
G(s)=\frac{K}{s(s+2)}.
Aqui n=2 (dois pólos: s=0 e s=-2) e m=0 (nenhum zero finito). Pelo raciocínio anterior:
  • Para K=0 os polos de malha fechada estão em s=0 e s=-2 — início dos ramos.
  • Para K\to\infty não há zeros finitos, então os 2 ramos vão para o infinito. As assimptotas são n-m=2, centroide \sigma_a=(0+(-2)-0)/(2)=-1 e ângulos \theta_k=(2k+1)\pi/2, ou seja, ramos simétricos indo verticalmente para cima e para baixo a partir de -1. Isso demonstra na prática que ramos começam nos pólos de malha aberta e terminam em zeros finitos ou em zeros no infinito.

Passo 7

Agora comparo com as alternativas e explico por que cada uma é correta ou incorreta:
  • (a) “Sempre começam em zeros e terminam em pólos.” Incorreta: é ao contrário — para K=0 os polos de malha fechada coincidem com os pólos de malha aberta, logo os ramos começam nos pólos.
  • (b) “Começam nos pólos de malha aberta e terminam nos zeros de malha aberta, incluindo zeros no infinito.” Correta: corresponde exatamente ao que demonstramos (K=0 → pólos de malha aberta; K→∞ → zeros de malha aberta, e se n>m alguns terminam no infinito que interpretamos como zeros no infinito).
  • (c) “Começam nos pólos de malha fechada e terminam no infinito.” Incorreta: os polos de malha fechada dependem de K; o início dos ramos é dado pelos polos de malha aberta (caso K=0), não polos de malha fechada em geral. Além disso, nem sempre terminam no infinito (se houver zeros finitos, terminam neles).
  • (d) “Começam nos zeros de malha fechada e terminam nos pólos reais.” Incorreta: não faz sentido geral — zeros de malha fechada não são o ponto de início; e os ramos não necessariamente terminam em polos reais.

Resposta

(b)

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