- Nas condições do exercício anterior mostre que
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, sob as hipóteses do exercício anterior, que se
é limitada então
Vamos usar a definição de supremo e ínfimo junto com a monotonia da função quadrado em
.
Passo 2
Seja
. Como para todo
vale
, elevando ao quadrado obtemos
Isso mostra que
é uma cota superior de
, ou seja
Passo 3
Para a outra desigualdade, tome
. Por definição de supremo existe
tal que
Então
o que implica
Como isso vale para todo
, segue que
.
Passo 4
Das desigualdades
e
concluímos
Passo 5
Agora seja
. Como
para todo
, segue
logo
é cota inferior de
e
Passo 6
Para a outra desigualdade, dado
existe
tal que
Então
implicando
Como vale para todo
, obtemos
.
Passo 7
Das desigualdades
e
segue