1. Dadas as funções f, g: X \rightarrow \mathbb{R}^{+}limitadas superiormente, prove que o produto f \cdot g: X \rightarrow \mathbb{R}^{+}é uma função limitada (superior e inferiormente) com \sup (f \cdot g) \leq \sup f \cdot \sup g e \inf (f \cdot g) \geq \inf f \cdot \inf g. Dê exemplos onde se tenha < e não =.

Passo 1

O enunciado fala de duas funções f,g:X\to\mathbb{R}^+ que são limitadas superiormente (isto é, existem números finitos \sup f e \sup g). Queremos mostrar que a função produto
(f\cdot g)(x)=f(x)\,g(x)
também é limitada superior e inferiormente, provando
\sup(fg)\le\sup f\cdot\sup g \quad\text{e}\quad \inf(fg)\ge\inf f\cdot\inf g.
Em seguida daremos exemplos onde as desigualdades podem ser estritas ( < e >) e onde são iguais ( =).

Passo 2

Para qualquer ponto x\in X, por definição de supremo temos
f(x)\le \sup f \quad\text{e}\quad g(x)\le \sup g.
Como f(x) e g(x) são não negativas, multiplicando essas desigualdades obtemos
f(x)\,g(x)\;\le\;(\sup f)\,(\sup g).
Isto vale para todo x, logo o maior valor possível de f(x)g(x) não ultrapassa (\sup f)(\sup g). Assim
\sup(fg)\le \sup f\cdot\sup g.

Passo 3

De modo análogo, pela definição de ínfimo, para todo x\in X temos
f(x)\ge \inf f \quad\text{e}\quad g(x)\ge \inf g.
Multiplicando (de novo com termos não negativos)
f(x)\,g(x)\;\ge\;(\inf f)\,(\inf g),
que vale para todo x. Logo
\inf(fg)\ge \inf f\cdot\inf g.

Passo 4

Exemplo de igualdade ( =) para ambas as desigualdades:
Escolha f e g constantes em X. Por exemplo, f(x)=2 e g(x)=3 para todo x.
Então \sup f=2, \sup g=3, \inf f=2, \inf g=3 e
(fg)(x)=6,
portanto \sup(fg)=6 e \inf(fg)=6. Assim
\sup(fg)=2\cdot3=\sup f\cdot\sup g, \quad \inf(fg)=2\cdot3=\inf f\cdot\inf g.

Passo 5

Exemplo de desigualdade estrita ( < e >):
Defina em X=[-1,1]
f(x)=x+2, \quad g(x)=2-x.
Então
\sup f=3,\;\sup g=3,\quad \inf f=1,\;\inf g=1.
Mas
(fg)(x)=(x+2)(2-x)= -x^2 +4,
cujo valor máximo é 4 (em x=0) e o mínimo é 3 (em x=\pm1). Logo
\sup(fg)=4<3\cdot3=9, \quad \inf(fg)=3>1\cdot1=1.

Resposta

As desigualdades
\sup(fg)\le\sup f\,\sup g \quad\text{e}\quad \inf(fg)\ge\inf f\,\inf g
estão provadas. Exemplos mostram que podem ocorrer casos de igualdade (funções constantes) e casos estritos ( < para o supremo e > para o ínfimo, como em f(x)=x+2 e g(x)=2-x em [-1,1]).

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