- Dadas as funções
limitadas superiormente, prove que o produto
é uma função limitada (superior e inferiormente) com
e
. Dê exemplos onde se tenha
e não
.
Passo 1
O enunciado fala de duas funções
que são limitadas superiormente (isto é, existem números finitos
e
). Queremos mostrar que a função produto
também é limitada superior e inferiormente, provando
Em seguida daremos exemplos onde as desigualdades podem ser estritas (
e
) e onde são iguais (
).
Passo 2
Para qualquer ponto
, por definição de supremo temos
Como
e
são não negativas, multiplicando essas desigualdades obtemos
Isto vale para todo
, logo o maior valor possível de
não ultrapassa
. Assim
Passo 3
De modo análogo, pela definição de ínfimo, para todo
temos
Multiplicando (de novo com termos não negativos)
que vale para todo
. Logo
Passo 4
Exemplo de igualdade (
) para ambas as desigualdades:
Escolha e
constantes em
. Por exemplo,
e
para todo
.
Então ,
,
,
e
Escolha
Então
portanto
e
. Assim
Passo 5
Exemplo de desigualdade estrita (
e
):
Defina em
Defina em
Então
Mas
cujo valor máximo é
(em
) e o mínimo é
(em
). Logo
Resposta
As desigualdades
estão provadas. Exemplos mostram que podem ocorrer casos de igualdade (funções constantes) e casos estritos (
para o supremo e
para o ínfimo, como em
e
em
).