Um condutor de aço ( \sigma=5,1 \times 10^{6} \mathrm{~S} / \mathrm{m} e \mu_{\mathrm{r}}=200 ) tem seção circular de raio 2,5 \mathrm{~mm} e 300 m de comprimento. Sabendo que o condutor transporta uma corrente total dada por \mathrm{I}(\mathrm{t})=1,5 \cos \left(3 \times 10^{4} \mathrm{t}\right)[\mathrm{A}], determinar:
a) a profundidade pelicular ( \delta );
b) a resistência em corrente contínua ( \mathrm{R}_{\mathrm{DC}} );
c) a resistência efetiva \left(\mathrm{R}_{\mathrm{Ac}}\right);
d) a perda de potência média no condutor.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Condutor de aço com condutividade \sigma=5{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}.
  • Permeabilidade relativa \mu_{\mathrm{r}}=200.
  • Raio da seção circular a=2{,}5\\ \mathrm{mm}=2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento l=300\\ \mathrm{m}.
  • Corrente total I(t)=1{,}5\cos\!\bigl(3\times10^{4}t\bigr)\\ [\mathrm{A}].
O enunciado pede:
(a) a profundidade de penetração (pelicular) \delta;
(b) a resistência em corrente contínua R_{\mathrm{DC}};
(c) a resistência efetiva em corrente alternada R_{\mathrm{Ac}};
(d) a perda de potência média no condutor (para a corrente dada).
Observações úteis que já extraem informação numérica:
  • Frequência angular \omega=3\times10^{4}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Valor de \mu_0 (permeabilidade do vácuo) será usado: \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • Permeabilidade absoluta \mu=\mu_{\mathrm{r}}\mu_0.

Passo 2

Cálculo de parâmetros iniciais: \omega, \mu e interpretação do que é a profundidade de penetração.
  • A frequência angular já está dada: \omega=3\times10^{4}\\ \mathrm{rad/s}.
  • A permeabilidade absoluta:
\mu=\mu_{\mathrm{r}}\mu_0=200\cdot\bigl(4\pi\times10^{-7}\bigr)=200\cdot 1{,}25663706\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
Fazendo a conta:
\mu \approx 2{,}51327412\times10^{-4}\\ \mathrm{H/m}.
Explicação didática curta sobre a profundidade pelicular \delta:
  • Em correntes alternadas, o campo elétrico e a corrente se concentram perto da superfície do condutor por causa dos efeitos de indução magnética. A profundidade pelicular \delta é a distância dentro do condutor na qual a amplitude da densidade de corrente cai a 1/e do seu valor na superfície.
  • A fórmula prática (para meios condutores bons e campo senoidal) é:
\delta=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu\sigma}},
onde \omega é a frequência angular ( \mathrm{rad/s}), \mu é a permeabilidade absoluta ( \mathrm{H/m}) e \sigma é a condutividade elétrica ( \mathrm{S/m}).

Passo 3

Cálculo numérico da profundidade pelicular \delta usando a fórmula e mostrando os passos numéricos.
Aplicando
\delta=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu\sigma}},
substituindo os valores:
\omega=3\times10^{4},\qquad \mu\approx 2{,}51327412\times10^{-4},\qquad \sigma=5{,}1\times10^{6}.
Primeiro calcular o produto \omega\mu\sigma:
\omega\mu\sigma=3\times10^{4}\times 2{,}51327412\times10^{-4}\times 5{,}1\times10^{6} \approx 3{,}8453094\times10^{7}.
Então
\delta=\sqrt{\dfrac{2}{3{,}8453094\times10^{7}}} \approx\sqrt{5{,}2016\times10^{-8}} \approx 2{,}281\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
\delta\approx 0{,}2281\\ \mathrm{mm}.
Comentário encorajador: vemos que \delta é bem menor que o raio a=2{,}5\\ \mathrm{mm}, o que indica que há efeito de pele significativo (a corrente está concentrada numa faixa próxima à superfície).

Passo 4

Cálculo da resistência em corrente contínua R_{\mathrm{DC}} e explicação da fórmula.
Fórmula e significado:
  • A resistência DC de um fio homogêneo é
R_{\mathrm{DC}}=\dfrac{l}{\sigma A},
onde l é o comprimento, \sigma a condutividade e A a área da seção transversal do condutor.
  • Para seção circular de raio a, \;A=\pi a^2.
Cálculo da área:
A=\pi a^{2}=\pi(2{,}5\times10^{-3})^{2}=\pi\cdot 6{,}25\times10^{-6}\approx 1{,}9634954\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora a resistência:
R_{\mathrm{DC}}=\dfrac{300}{5{,}1\times10^{6}\times 1{,}9634954\times10^{-5}} \approx \dfrac{300}{100{,}0082358} \approx 2{,}99975\\ \Omega.
Arredondando com razoável sigificância:
R_{\mathrm{DC}}\approx 3{,}00\\ \Omega.
Explicação prática: esse valor seria a resistência se a corrente ocupasse uniformemente toda a seção circular (condição DC ou frequência muito baixa).

Passo 5

Como estimar a resistência efetiva em AC R_{\mathrm{Ac}} devido ao efeito de pele — explicação do método e fórmula aproximada.
Ideia física e aproximação:
  • Quando \delta\ll a (pele fina), a corrente efetiva circula somente numa camada de espessura \sim\delta próxima à superfície. A área útil aproximada para a condução é a área da “casca” de espessura \delta, equivalente a perímetro vezes \delta: A_{\mathrm{ef}}\approx 2\pi a\delta.
  • Assim, a resistência AC aproximada pode ser estimada por
R_{\mathrm{Ac}}\approx \dfrac{l}{\sigma\, 2\pi a\delta}.
  • Essa aproximação é a mais simples e é boa quando a/\delta\gtrsim 3. No nosso caso a/\delta\approx 2{,}5\\ \mathrm{mm}/0{,}228\\ \mathrm{mm}\approx 11, então a aproximação é bastante razoável.
  • Observação alternativa: relação entre R_{\mathrm{Ac}} e R_{\mathrm{DC}} (mesma aproximação) é
R_{\mathrm{Ac}}\approx R_{\mathrm{DC}}\cdot\dfrac{a}{2\delta},
porque R_{\mathrm{DC}}\propto 1/(\pi a^{2}) e R_{\mathrm{Ac}}\propto 1/(2\pi a\delta).

Passo 6

Cálculo numérico de R_{\mathrm{Ac}} usando a fórmula da casca.
Usando
R_{\mathrm{Ac}}\approx \dfrac{l}{\sigma\,2\pi a\delta},
substituindo:
2\pi a\delta = 2\pi\cdot(2{,}5\times10^{-3})\cdot(2{,}281\times10^{-4}) \approx 3{,}58196\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
Então
\sigma\,2\pi a\delta \approx 5{,}1\times10^{6}\times 3{,}58196\times10^{-6}\approx 18{,}268\\ (\text{unidade: S}).
Portanto
R_{\mathrm{Ac}}\approx \dfrac{300}{18{,}268}\approx 16{,}42\\ \Omega.
Verificação rápida usando a relação com R_{\mathrm{DC}}:
R_{\mathrm{Ac}}\approx R_{\mathrm{DC}}\cdot\dfrac{a}{2\delta} \approx 2{,}99975\cdot\dfrac{2{,}5\times10^{-3}}{2\cdot 2{,}281\times10^{-4}} \approx 2{,}99975\cdot 5{,}48\approx 16{,}44\\ \Omega,
o que confirma o valor encontrado (diferenças pequenas por arredondamentos).
Interpretação: a resistência efetiva em AC é muito maior que a resistência DC por causa da redução efetiva da área de condução.

Passo 7

Cálculo da perda de potência média (média temporal) no condutor para a corrente senoidal dada.
Primeiro calcular a corrente RMS:
I_{\mathrm{rms}}=\dfrac{I_{\mathrm{pico}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{1{,}5}{\sqrt{2}}\approx 1{,}06066\\ \mathrm{A}.
A potência média dissipada por uma resistência R_{\mathrm{Ac}} é
P_{\mathrm{média}}=I_{\mathrm{rms}}^{2}\,R_{\mathrm{Ac}}.é
Usando I_{\mathrm{rms}}^{2}=(1{,}5^{2})/2=1{,}125 e R_{\mathrm{Ac}}\approx 16{,}42\\ \Omega:
P_{\mathrm{média}}\approx 1{,}125\times 16{,}42\approx 18{,}48\\ \mathrm{W}.é
Comentário: Se por curiosidade se calculássemos com R_{\mathrm{DC}} obteríamos muito menos: P_{\mathrm{DC\_like}}=1{,}125\times 3{,}00\approx 3{,}375\\ \mathrm{W}. Isso mostra que o efeito de pele aumenta as perdas em AC de forma significativa.

Resposta

(a) \delta\approx 2{,}281\times10^{-4}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}228\\ \mathrm{mm}
(b) R_{\mathrm{DC}}\approx 3{,}00\\ \Omega
(c) R_{\mathrm{Ac}}\approx 16{,}42\\ \Omega
(d) P_{\mathrm{média}}\approx 18{,}48\\ \mathrm{W}é

Exercícios relacionados