Um condutor de aço (
e
) tem seção circular de raio
e 300 m de comprimento. Sabendo que o condutor transporta uma corrente total dada por
, determinar:
a) a profundidade pelicular (
);
b) a resistência em corrente contínua (
);
c) a resistência efetiva
;
d) a perda de potência média no condutor.
a) a profundidade pelicular (
b) a resistência em corrente contínua (
c) a resistência efetiva
d) a perda de potência média no condutor.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
- Condutor de aço com condutividade
. - Permeabilidade relativa
. - Raio da seção circular
. - Comprimento
. - Corrente total
.
O enunciado pede:
(a) a profundidade de penetração (pelicular) ;
(b) a resistência em corrente contínua ;
(c) a resistência efetiva em corrente alternada ;
(d) a perda de potência média no condutor (para a corrente dada).
(a) a profundidade de penetração (pelicular)
(b) a resistência em corrente contínua
(c) a resistência efetiva em corrente alternada
(d) a perda de potência média no condutor (para a corrente dada).
Observações úteis que já extraem informação numérica:
- Frequência angular
. - Valor de
(permeabilidade do vácuo) será usado: . - Permeabilidade absoluta
.
Passo 2
Cálculo de parâmetros iniciais:
,
e interpretação do que é a profundidade de penetração.
-
A frequência angular já está dada:
. -
A permeabilidade absoluta:
Fazendo a conta:
Explicação didática curta sobre a profundidade pelicular
:
- Em correntes alternadas, o campo elétrico e a corrente se concentram perto da superfície do condutor por causa dos efeitos de indução magnética. A profundidade pelicular
é a distância dentro do condutor na qual a amplitude da densidade de corrente cai a do seu valor na superfície. - A fórmula prática (para meios condutores bons e campo senoidal) é:
onde
é a frequência angular (
),
é a permeabilidade absoluta (
) e
é a condutividade elétrica (
).
Passo 3
Cálculo numérico da profundidade pelicular
usando a fórmula e mostrando os passos numéricos.
Aplicando
substituindo os valores:
Primeiro calcular o produto
:
Então
Convertendo para milímetros:
Comentário encorajador: vemos que
é bem menor que o raio
, o que indica que há efeito de pele significativo (a corrente está concentrada numa faixa próxima à superfície).
Passo 4
Cálculo da resistência em corrente contínua
e explicação da fórmula.
Fórmula e significado:
- A resistência DC de um fio homogêneo é
onde
é o comprimento,
a condutividade e
a área da seção transversal do condutor.
- Para seção circular de raio
, .
Cálculo da área:
Agora a resistência:
Arredondando com razoável sigificância:
Explicação prática: esse valor seria a resistência se a corrente ocupasse uniformemente toda a seção circular (condição DC ou frequência muito baixa).
Passo 5
Como estimar a resistência efetiva em AC
devido ao efeito de pele — explicação do método e fórmula aproximada.
Ideia física e aproximação:
- Quando
(pele fina), a corrente efetiva circula somente numa camada de espessura próxima à superfície. A área útil aproximada para a condução é a área da “casca” de espessura , equivalente a perímetro vezes : . - Assim, a resistência AC aproximada pode ser estimada por
- Essa aproximação é a mais simples e é boa quando
. No nosso caso , então a aproximação é bastante razoável. - Observação alternativa: relação entre
e (mesma aproximação) é
porque
e
.
Passo 6
Cálculo numérico de
usando a fórmula da casca.
Usando
substituindo:
Então
Portanto
Verificação rápida usando a relação com
:
o que confirma o valor encontrado (diferenças pequenas por arredondamentos).
Interpretação: a resistência efetiva em AC é muito maior que a resistência DC por causa da redução efetiva da área de condução.
Passo 7
Cálculo da perda de potência média (média temporal) no condutor para a corrente senoidal dada.
Primeiro calcular a corrente RMS:
A potência média dissipada por uma resistência
é
Usando
e
:
Comentário: Se por curiosidade se calculássemos com
obteríamos muito menos:
. Isso mostra que o efeito de pele aumenta as perdas em AC de forma significativa.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)