Uma o.p.u. definida por \mathbf{H}_{\mathbf{y} 1}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=2 \cos (\omega \mathrm{t}-\beta \mathrm{z}) \mathbf{j}[\mathrm{A} / \mathrm{m}] se propaga num meio para o qual \varepsilon_{\mathrm{r} 1}=4 e \mu_{\mathrm{r} 1}=1. A onda encontra um segundo material na região 2(\mathrm{z}>0) para o qual \varepsilon_{\mathrm{r} 2}=2 e \mu_{\mathrm{r} 2}=50. Se ambos os meios são sem perdas e \mathrm{f}=5 \mathrm{GHz}, calcular:
a) o coeficiente de onda estacionária na região 1;
b) as potências médias por metro quadrado das ondas incidente, refletida e transmitida.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Campo magnético da onda na região 1: \mathbf{H}_{y1}(z,t)=2\cos(\omega t-\beta z)\,\mathbf{j} [A/m]. Ou seja, a amplitude do campo magnético incidente é H_{i}=2 A/m.
  • Parâmetros relativos dos meios:
    • Região 1: \varepsilon_{r1}=4, \mu_{r1}=1.
    • Região 2: \varepsilon_{r2}=2, \mu_{r2}=50.
  • Ambos os meios sem perdas.
  • Frequência: f=5\\ \mathrm{GHz}.
  • Constante do espaço livre: impedância \eta_0\approx 377\\ \Omega.
O enunciado pede:
(a) o coeficiente de onda estacionária na região 1 (ou seja, o “standing wave ratio” — SWR — resultante da reflexão na interface z=0);
(b) as potências médias por metro quadrado (densidades de potência média) das ondas incidente, refletida e transmitida.

Passo 2

Entender as fórmulas essenciais que vou usar (aula rápida):
  • Impedância intrínseca de um meio sem perdas:
\eta=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}=\eta_0\sqrt{\dfrac{\mu_r}{\varepsilon_r}},
onde \mu=\mu_0\mu_r, \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r e \eta_0\approx377\\ \Omega.
  • Coeficiente de reflexão (para ondas de incidência normal) em termos das impedâncias:
\Gamma=\dfrac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1},
onde \eta_1 é a impedância da região de onde a onda vem (região 1) e \eta_2 a da região transmissora (região 2).
  • Relação entre razão de onda estacionária (SWR) e magnitude de \Gamma:
\mathrm{SWR}=\dfrac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}.
  • Densidade de potência média (magnitude do vetor de Poynting médio) para uma onda plana harmônica em meio sem perdas, usando amplitudes de pico E_0 e H_0 (campos em fase):
S_{\text{médio}}=\dfrac{1}{2}E_0 H_0.é
Como E_0=\eta H_0 no meio, podemos escrever para a onda incidente (na região 1):
S_{\text{inc}}=\dfrac{1}{2}\eta_1 H_i^2.
Para a refletida (na mesma região 1) com H_r=\Gamma H_i:
S_{\text{ref}}=\dfrac{1}{2}\eta_1 |H_r|^2=\dfrac{1}{2}\eta_1 |\Gamma|^2 H_i^2.
Para a transmitida (na região 2), usando H_t=(1-\Gamma)H_i (obtido pelas condições de contorno; derivação será mostrada se necessário):
S_{\text{trans}}=\dfrac{1}{2}\eta_2 |H_t|^2=\dfrac{1}{2}\eta_2\left|\dfrac{2\eta_1}{\eta_1+\eta_2}\right|^2 H_i^2.
Observação: em meios sem perdas, a energia deve conservar-se e S_{\text{inc}}-S_{\text{ref}}=S_{\text{trans}}.

Passo 3

Calcular as impedâncias intrínsecas \eta_1 e \eta_2.
Usando \eta=\eta_0\sqrt{\mu_r/\varepsilon_r}:
Para a região 1:
\eta_1=\eta_0\sqrt{\dfrac{\mu_{r1}}{\varepsilon_{r1}}} =\eta_0\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\eta_0\cdot\dfrac{1}{2}.
Substituindo \eta_0\approx377\\ \Omega:
\eta_1\approx\dfrac{377}{2}=188{,}5\\ \Omega.
Para a região 2:
\eta_2=\eta_0\sqrt{\dfrac{\mu_{r2}}{\varepsilon_{r2}}} =\eta_0\sqrt{\dfrac{50}{2}}=\eta_0\sqrt{25}=\eta_0\cdot 5.
Portanto
\eta_2\approx 377\cdot 5=1885\\ \Omega.
Nota rápida: percebe-se que \eta_2=10\eta_1 porque 1885/(188{,}5)=10.

Passo 4

Calcular o coeficiente de reflexão \Gamma.
Usando
\Gamma=\dfrac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1},
e substituindo \eta_2=10\eta_1:
\Gamma=\dfrac{10\eta_1-\eta_1}{10\eta_1+\eta_1}=\dfrac{9\eta_1}{11\eta_1}=\dfrac{9}{11}.
Logo
\Gamma=\dfrac{9}{11}\approx0{,}818181\ldots
Como todos os meios são sem perdas e as impedâncias são reais, \Gamma é real e positivo (reflexão em fase).

Passo 5

Calcular o coeficiente de onda estacionária (SWR) na região 1.
Usando
\mathrm{SWR}=\dfrac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|},
substituindo |\Gamma|=9/11:
\mathrm{SWR}=\dfrac{1+\tfrac{9}{11}}{1-\tfrac{9}{11}} =\dfrac{\tfrac{20}{11}}{\tfrac{2}{11}}=\dfrac{20}{2}=10.
Portanto o coeficiente de onda estacionária na região 1 é \mathrm{SWR}=10.

Passo 6

Calcular as potências médias por metro quadrado (densidades de potência média) das ondas incidente, refletida e transmitida.
Primeiro, potência incidente:
S_{\text{inc}}=\dfrac{1}{2}\eta_1 H_i^2.
Substituindo \eta_1=188{,}5\\ \Omega e H_i=2\\ \mathrm{A/m}:
S_{\text{inc}}=\dfrac{1}{2}\cdot 188{,}5\cdot 2^{2} =\dfrac{1}{2}\cdot 188{,}5\cdot 4 =2\cdot 188{,}5=377\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Potência refletida:
S_{\text{ref}}=\dfrac{1}{2}\eta_1 |\Gamma|^2 H_i^2 = S_{\text{inc}}\cdot |\Gamma|^2.
Com |\Gamma|=9/11:
S_{\text{ref}}=377\cdot\left(\dfrac{9}{11}\right)^{2} =377\cdot\dfrac{81}{121} =377\cdot 0{,}669421\ldots\approx 252{,}3\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Potência transmitida (na região 2):
Método 1 (diferença): S_{\text{trans}}=S_{\text{inc}}-S_{\text{ref}}.
S_{\text{trans}}=377-252{,}3\approx124{,}7\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Método 2 (confirmação direta):
H_t=\dfrac{2\eta_1}{\eta_1+\eta_2}H_i, \quad S_{\text{trans}}=\dfrac{1}{2}\eta_2 H_t^2.
Como \eta_2=10\eta_1, tem-se H_t=\dfrac{2}{11}H_i, logo H_t=\dfrac{2}{11}\cdot 2=\dfrac{4}{11}\\ \mathrm{A/m}.
Então
S_{\text{trans}}=\dfrac{1}{2}\cdot 1885\cdot\left(\dfrac{4}{11}\right)^{2} \approx 124{,}7\\ \mathrm{W/m^{2}},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

(a) \mathrm{SWR}=10
(b) S_{\text{inc}}=377\\ \mathrm{W/m^{2}}
S_{\text{ref}}\approx252{,}3\\ \mathrm{W/m^{2}}
S_{\text{trans}}\approx124{,}7\\ \mathrm{W/m^{2}}

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