Uma o.p.u. para a qual
no vácuo incide normalmente na superfície de uma camada de fibra de vidro com
e
.
a) Qual a mínima espessura de fibra de vidro para não haver reflexão?
b) Que percentagem da potência incidente será transmitida através da fibra de vidro se a frequência da onda diminuir de
? Supor que a espessura da fibra é aquela calculada no item anterior.
a) Qual a mínima espessura de fibra de vidro para não haver reflexão?
b) Que percentagem da potência incidente será transmitida através da fibra de vidro se a frequência da onda diminuir de
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- A onda tem comprimento no vácuo
. - A camada de fibra de vidro tem permissividade relativa
. - A condutividade
(ou seja, meio sem perdas). - Incidência normal sobre a superfície da camada.
- A onda tem comprimento no vácuo
- Perguntas:
- (a) Qual a mínima espessura da fibra de vidro para não haver reflexão?
- (b) Se a frequência diminuir
e a espessura permanecer a do item (a), que percentagem da potência incidente será transmitida através da fibra?
Passo 2
Entender quais quantidades físicas vamos usar (sem ainda calcular): quando uma onda plana incide normalmente sobre uma lâmina homogênea e as regiões à esquerda e à direita da lâmina são idênticas (aqui: vácuo em ambos os lados), existe uma condição de espessura para a qual as reflexões das duas interfaces se anulam. Para manipular isso precisamos do índice de refração (ou equivalente) da fibra:
- Índice efetivo
(assumindo ). - Comprimento de onda dentro da fibra
. - Constante de fase dentro da fibra
.
A condição mínima para não haver reflexão (cancelamento total das ondas refletidas) numa lâmina simétrica é que a fase acumulada ao atravessar e voltar na lâmina satisfaça
, o que leva a espessuras do tipo
(com
inteiro positivo). A menor espessura positiva é, portanto,
. Nas próximas etapas eu monto as fórmulas, calculo os números e explico direitinho cada passo.
Passo 3
Calcular o índice e o comprimento de onda na fibra.
-
Índice:Aqui cada símbolo significa:
-
: índice de refração da fibra (razão entre o comprimento de onda no vácuo e no meio). -
: permissividade relativa dada.
-
-
Comprimento de onda na fibra:
Passo 4
Determinar a mínima espessura que anula a reflexão (resposta do item a), com explicação do porquê.
- A menor espessura para cancelamento é metade do comprimento de onda no meio:
Substituindo:
Explicação física curta e intuitiva: a reflexão total resultante é soma da reflexão na face de entrada mais a reflexão na face de saída retardada pela ida e volta dentro da lâmina. Quando a ida+volta produz fase múltipla de
(ou seja,
, que dá
), as duas ondas refletidas ficam de sinais opostos e se anulam — resultado: nenhuma reflexão.
Passo 5
Preparar a fórmula para calcular a transmissão de potência quando a frequência muda (começo do item b).
- Definir o coeficiente de reflexão na interface entre vácuo (meio 1) e fibra (meio 2) para campo (incidência normal):
onde (vácuo) e (fibra). - Para a lâmina simétrica (mesmo meio à esquerda e à direita), a amplitude de transmissão complexa total é
onde é a fase ida+volta. Como os meios externos são iguais, a potência transmitida (a fracção da potência incidente transmitida) é Aqui: -
é a fração (entre 0 e 1) da potência incidente que atravessa a lâmina. -
é real (já que real e ).
-
Passo 6
Calcular
numericamente e a fase nova quando a frequência diminui
.
- Calcular
:
- Quando a frequência diminui
, a nova frequência . O comprimento de onda no vácuo passa a ser O índice da fibra não muda (é função do material), logo a nova fase de ida+volta na mesma espessura é mas é mais simples usar a razão entre comprimentos de onda no vácuo: como foi escolhido como (metade do comprimento de onda original no meio), obtém-se Substituindo (ou seja ): E
Passo 7
Calcular a fração de potência transmitida com
.
- Substituir na fórmula de
: Numérico:
Ou seja, a percentagem da potência transmitida é aproximadamente
.
Interpretação curta: a espessura foi otimizada para uma frequência; ao diminuir a frequência em
a condição de fase fica ligeiramente fora do ponto ótimo e aparece uma pequena reflexão, reduzindo a transmissão para cerca de
.
Resposta
(a)
(aprox.)\newline
(b)
(b)