Uma o.p.u. para a qual \lambda=3 \mathrm{~cm} no vácuo incide normalmente na superfície de uma camada de fibra de vidro com \varepsilon_{\mathrm{r}}=4,9 e \sigma=0.
a) Qual a mínima espessura de fibra de vidro para não haver reflexão?
b) Que percentagem da potência incidente será transmitida através da fibra de vidro se a frequência da onda diminuir de 10 \% ? Supor que a espessura da fibra é aquela calculada no item anterior.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A onda tem comprimento no vácuo \lambda_0=3\\ \mathrm{cm}.
    • A camada de fibra de vidro tem permissividade relativa \varepsilon_{\mathrm{r}}=4,9.
    • A condutividade \sigma=0 (ou seja, meio sem perdas).
    • Incidência normal sobre a superfície da camada.
  • Perguntas:
    • (a) Qual a mínima espessura da fibra de vidro para não haver reflexão?
    • (b) Se a frequência diminuir 10\% e a espessura permanecer a do item (a), que percentagem da potência incidente será transmitida através da fibra?

Passo 2

Entender quais quantidades físicas vamos usar (sem ainda calcular): quando uma onda plana incide normalmente sobre uma lâmina homogênea e as regiões à esquerda e à direita da lâmina são idênticas (aqui: vácuo em ambos os lados), existe uma condição de espessura para a qual as reflexões das duas interfaces se anulam. Para manipular isso precisamos do índice de refração (ou equivalente) da fibra:
  • Índice efetivo \displaystyle n=\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}} (assumindo \mu_{\mathrm{r}}=1).
  • Comprimento de onda dentro da fibra \displaystyle \lambda_2=\dfrac{\lambda_0}{n}.
  • Constante de fase dentro da fibra \displaystyle \beta=\dfrac{2\pi}{\lambda_2}.
A condição mínima para não haver reflexão (cancelamento total das ondas refletidas) numa lâmina simétrica é que a fase acumulada ao atravessar e voltar na lâmina satisfaça e^{-j2\beta d}=1, o que leva a espessuras do tipo d=m\,\dfrac{\lambda_2}{2} (com m inteiro positivo). A menor espessura positiva é, portanto, d=\dfrac{\lambda_2}{2}. Nas próximas etapas eu monto as fórmulas, calculo os números e explico direitinho cada passo.

Passo 3

Calcular o índice e o comprimento de onda na fibra.
  • Índice:
    n=\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}=\sqrt{4,9}=2,2136\\ (\text{aprox.})
    Aqui cada símbolo significa:
    • n: índice de refração da fibra (razão entre o comprimento de onda no vácuo e no meio).
    • \varepsilon_{\mathrm{r}}: permissividade relativa dada.
  • Comprimento de onda na fibra:
    \lambda_2=\dfrac{\lambda_0}{n}=\dfrac{3\\ \mathrm{cm}}{2,2136}=1,3553\\ \mathrm{cm}\\ (\text{aprox.})

Passo 4

Determinar a mínima espessura que anula a reflexão (resposta do item a), com explicação do porquê.
  • A menor espessura para cancelamento é metade do comprimento de onda no meio: d_{\min}=\dfrac{\lambda_2}{2}.Substituindo: d_{\min}=\dfrac{1,3553\\ \mathrm{cm}}{2}=0,6776\\ \mathrm{cm}=6,776\\ \mathrm{mm}\\ (\text{aprox.}).
Explicação física curta e intuitiva: a reflexão total resultante é soma da reflexão na face de entrada mais a reflexão na face de saída retardada pela ida e volta dentro da lâmina. Quando a ida+volta produz fase múltipla de 2\pi (ou seja, d=\lambda_2/2, que dá 2\beta d=2\pi), as duas ondas refletidas ficam de sinais opostos e se anulam — resultado: nenhuma reflexão.

Passo 5

Preparar a fórmula para calcular a transmissão de potência quando a frequência muda (começo do item b).
  • Definir o coeficiente de reflexão na interface entre vácuo (meio 1) e fibra (meio 2) para campo (incidência normal): \rho=\dfrac{n_1-n_2}{n_1+n_2}=\dfrac{1-n}{1+n},onde n_1=1 (vácuo) e n_2=n (fibra).
  • Para a lâmina simétrica (mesmo meio à esquerda e à direita), a amplitude de transmissão complexa total é t(\varphi)=\dfrac{1-\rho^2}{1-\rho^2 e^{-j\varphi}}\,e^{-j\beta d},onde \varphi=2\beta d é a fase ida+volta. Como os meios externos são iguais, a potência transmitida (a fracção da potência incidente transmitida) é T(\varphi)=|t(\varphi)|^2=\dfrac{(1-\rho^2)^2}{1-2\rho^2\cos\varphi+\rho^4}.Aqui:
    • T é a fração (entre 0 e 1) da potência incidente que atravessa a lâmina.
    • \rho é real (já que \varepsilon_{\mathrm{r}} real e \sigma=0).

Passo 6

Calcular \rho numericamente e a fase nova quando a frequência diminui 10\%.
  • Calcular \rho: \rho=\dfrac{1-n}{1+n}=\dfrac{1-2,2136}{1+2,2136}=-0,37768\\ (\text{aprox.}).
\rho^2=0,14262\quad\text{e}\quad \rho^4\approx0,02034.
  • Quando a frequência diminui 10\%, a nova frequência f'=0,9f. O comprimento de onda no vácuo passa a ser \lambda_0'=\dfrac{\lambda_0}{0,9}=\dfrac{3\\ \mathrm{cm}}{0,9}=3,\overline{3}\\ \mathrm{cm}.O índice n da fibra não muda (é função do material), logo a nova fase de ida+volta na mesma espessura d=d_{\min} é \varphi' = 2\beta' d = 2\cdot\frac{2\pi}{\lambda_2'}\cdot d,mas é mais simples usar a razão entre comprimentos de onda no vácuo: como d foi escolhido como d=\dfrac{\lambda_{2,\text{orig}}}{2} (metade do comprimento de onda original no meio), obtém-se \varphi' = 2\pi\cdot\dfrac{\lambda_0}{\lambda_0'}.Substituindo \lambda_0'/\lambda_0=1/0,9 (ou seja \lambda_0/\lambda_0'=0,9): \varphi' = 2\pi\cdot 0,9 = 1{,}8\pi\\ \text{rad}.E \cos\varphi'=\cos(1{,}8\pi)=\cos(0{,}2\pi)=\cos(36^\circ)=0,809016\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

Calcular a fração de potência transmitida com \varphi'=1{,}8\pi.
  • Substituir na fórmula de T: T(\varphi')=\dfrac{(1-\rho^2)^2}{1-2\rho^2\cos\varphi'+\rho^4}.Numérico: (1-\rho^2)^2=(1-0,14262)^2=(0,85738)^2=0,73513\\ (\text{aprox.})
1-2\rho^2\cos\varphi'+\rho^4=1-2\cdot0,14262\cdot0,809016+0,02034=0,78934\\ (\text{aprox.})
T(\varphi')=\dfrac{0,73513}{0,78934}=0,93126\\ (\text{aprox.}).
Ou seja, a percentagem da potência transmitida é aproximadamente 93,13\%.
Interpretação curta: a espessura foi otimizada para uma frequência; ao diminuir a frequência em 10\% a condição de fase fica ligeiramente fora do ponto ótimo e aparece uma pequena reflexão, reduzindo a transmissão para cerca de 93\%.

Resposta

(a) d_{\min}=\dfrac{\lambda_0}{2\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}}=0,6776\\ \mathrm{cm} (aprox.)\newline
(b) T\approx93,13\\ \%

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