Um condutor de alumínio ( \sigma=3,5 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m} e \mu_{\mathrm{r}}=1 ) com 1871 m de comprimento tem seção circular de raio r=5 \mathrm{~mm}. Sabendo que o condutor transporta uma corrente dada por i(t)=10 \cos \left(2 \pi \times 10^{6} t\right)[\mathrm{A}], calcular a potência média (ou potência ativa) perdida por efeito Joule ao longo de todo o comprimento do condutor.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a potência média (ativa) dissipada por efeito Joule ao longo de todo o condutor.
  • Condutor de alumínio com condutividade \sigma=3,5\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}.
  • Relutividade relativa \mu_{\mathrm{r}}=1.
  • Comprimento L=1871\\ \mathrm{m}.
  • Seção circular de raio r=5\\ \mathrm{mm}=0,005\\ \mathrm{m}.
  • Corrente dependente do tempo i(t)=10\cos\bigl(2\pi\times10^{6}t\bigr)\\ [\mathrm{A}].
    Portanto a amplitude (pico) da corrente é I_{0}=10\\ \mathrm{A} e a frequência é f=10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
O que se pede: calcular a potência média (potência ativa) perdida por efeito Joule ao longo de todo o comprimento do condutor.

Passo 2

Fórmula básica para potência média dissipada por uma corrente senoidal:
  • Para uma resistência R percorrida por uma corrente senoidal de amplitude I_{0}, a potência média é
P_{\mathrm{média}}=I_{\mathrm{rms}}^{2}\,R,é
onde I_{\mathrm{rms}} é o valor eficaz (RMS) da corrente.
  • Para uma senóide i(t)=I_{0}\cos(\omega t) vale
I_{\mathrm{rms}}=\frac{I_{0}}{\sqrt{2}}.
Aqui I_{0}=10, logo
I_{\mathrm{rms}}=\frac{10}{\sqrt{2}},\qquad I_{\mathrm{rms}}^{2}=\frac{10^{2}}{2}=50.
Explicação rápida (pra não ter dúvida): o valor eficaz é a raiz da média do quadrado da corrente ao longo do tempo; para cosseno puro dá I_{0}/\sqrt{2}. Em prova é bom memorizar essa relação.

Passo 3

Decidir qual resistência usar: resistência DC simples ou resistência AC considerando efeito de pele (skin effect)?
  • A resistência DC seria R_{\mathrm{DC}}=\rho\frac{L}{A} com \rho=1/\sigma e A=\pi r^{2}. Isso dá uma estimativa baixa se a corrente estiver uniformemente distribuída na seção.
  • Porém a corrente é em f=1\\ \mathrm{MHz}. Em altas frequências a corrente se concentra numa camada superficial de espessura chamada profundidade de penetração (skin depth) \delta. Se \delta for muito menor que o raio r, a corrente não é uniforme e a resistência efetiva aumenta muito. O enunciado forneceu \mu_{\mathrm{r}}, sugerindo considerar efeito de pele.
Logo vamos calcular a profundidade de penetração \delta e comparar com o raio.

Passo 4

Cálculo da profundidade de penetração \delta.
A fórmula (para material não magnético ou com permeabilidade \mu=\mu_{0}\mu_{\mathrm{r}}) é
\delta=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu\sigma}},
onde \omega=2\pi f, \mu=\mu_{0}\mu_{\mathrm{r}} e \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
Substituindo:
\omega=2\pi\cdot10^{6}, \qquad \mu=\mu_{0}\mu_{\mathrm{r}}=4\pi\times10^{-7}\cdot1.
Calcular o produto \omega\mu\sigma:
\omega\mu\sigma =2\pi\cdot10^{6}\cdot(4\pi\times10^{-7})\cdot3{,}5\times10^{7} \approx 2,763489\times10^{8}.
Portanto
\delta=\sqrt{\dfrac{2}{2{,}763489\times10^{8}}} \approx 8{,}51\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=85{,}1\\ \mu\mathrm{m}.
Comparação: o raio é r=0{,}005\\ \mathrm{m}=5000\\ \mu\mathrm{m}. Como \delta\ll r (85 μm contra 5000 μm), o efeito de pele é muito importante e a corrente está confinada numa camada superficial. Portanto não podemos usar a resistência DC; devemos usar a resistência AC considerando skin effect.

Passo 5

Expressão aproximada da resistência AC quando \delta\ll r.
  • Quando a corrente está confinada numa camada de espessura \delta próxima à superfície do fio cilíndrico de raio a=r, a área efetiva por onde flui a corrente é aproximadamente
A_{\mathrm{ef}} \approx 2\pi a\,\delta.
  • A condutividade é \sigma, logo a resistência por comprimento é aproximadamente
R'_{\mathrm{AC}}=\frac{1}{\sigma A_{\mathrm{ef}}}=\frac{1}{\sigma\,2\pi a\,\delta}.
A resistência total do fio de comprimento L é
R_{\mathrm{AC}}=R'_{\mathrm{AC}}\,L=\frac{L}{\sigma\,2\pi a\,\delta}.
Aqui a=0{,}005\\ \mathrm{m}, L=1871\\ \mathrm{m}, \sigma=3{,}5\times10^{7}\\ \mathrm{S/m} e \delta calculada no passo anterior.
Calcular o denominador numérico:
\sigma\,2\pi a\,\delta =3{,}5\times10^{7}\cdot2\pi\cdot0{,}005\cdot8{,}5077\times10^{-5} \approx 93{,}52.
Logo
R_{\mathrm{AC}}=\frac{1871}{93{,}52}\approx20{,}01\\ \Omega.
Observação útil: essa resistência AC (~20 \Omega) é muito maior que a resistência DC (~0,68 \Omega) que teria sido obtida assumindo corrente uniforme. O motivo é que a corrente efetiva circula apenas numa fina película, reduzindo fortemente a área condutora.

Passo 6

Cálculo da potência média dissipada.
Usando P_{\mathrm{média}}=I_{\mathrm{rms}}^{2}R_{\mathrm{AC}}é e I_{\mathrm{rms}}^{2}=50 (ver Passo 2):
P_{\mathrm{média}}=50\cdot 20{,}01 \approx 1000{,}5\\ \mathrm{W}.é
Arredondando de forma razoável:
P_{\mathrm{média}}\approx 1{,}00\times10^{3}\\ \mathrm{W}\quad(\text{aprox. }1{,}0\\ \mathrm{kW}).é
Pequeno incentivo: isso mostra como altas frequências podem aumentar dramaticamente perdas em condutores grossos por causa do efeito de pele — ponto importante em projetos práticos!

Resposta

P_{\mathrm{média}}\approx 1{,}00\times10^{3}\\ \mathrm{W}é

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