Um condutor de alumínio (
e
) com 1871 m de comprimento tem seção circular de raio
. Sabendo que o condutor transporta uma corrente dada por
, calcular a potência média (ou potência ativa) perdida por efeito Joule ao longo de todo o comprimento do condutor.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a potência média (ativa) dissipada por efeito Joule ao longo de todo o condutor.
- Condutor de alumínio com condutividade
. - Relutividade relativa
. - Comprimento
. - Seção circular de raio
. - Corrente dependente do tempo
.
Portanto a amplitude (pico) da corrente ée a frequência é .
O que se pede: calcular a potência média (potência ativa) perdida por efeito Joule ao longo de todo o comprimento do condutor.
Passo 2
Fórmula básica para potência média dissipada por uma corrente senoidal:
- Para uma resistência
percorrida por uma corrente senoidal de amplitude , a potência média é
onde
é o valor eficaz (RMS) da corrente.
- Para uma senóide
vale
Aqui
, logo
Explicação rápida (pra não ter dúvida): o valor eficaz é a raiz da média do quadrado da corrente ao longo do tempo; para cosseno puro dá
. Em prova é bom memorizar essa relação.
Passo 3
Decidir qual resistência usar: resistência DC simples ou resistência AC considerando efeito de pele (skin effect)?
- A resistência DC seria
com e . Isso dá uma estimativa baixa se a corrente estiver uniformemente distribuída na seção. - Porém a corrente é em
. Em altas frequências a corrente se concentra numa camada superficial de espessura chamada profundidade de penetração (skin depth) . Se for muito menor que o raio , a corrente não é uniforme e a resistência efetiva aumenta muito. O enunciado forneceu , sugerindo considerar efeito de pele.
Logo vamos calcular a profundidade de penetração
e comparar com o raio.
Passo 4
Cálculo da profundidade de penetração
.
A fórmula (para material não magnético ou com permeabilidade
) é
onde
,
e
.
Substituindo:
Calcular o produto
:
Portanto
Comparação: o raio é
. Como
(85 μm contra 5000 μm), o efeito de pele é muito importante e a corrente está confinada numa camada superficial. Portanto não podemos usar a resistência DC; devemos usar a resistência AC considerando skin effect.
Passo 5
Expressão aproximada da resistência AC quando
.
- Quando a corrente está confinada numa camada de espessura
próxima à superfície do fio cilíndrico de raio , a área efetiva por onde flui a corrente é aproximadamente
- A condutividade é
, logo a resistência por comprimento é aproximadamente
A resistência total do fio de comprimento
é
Aqui
,
,
e
calculada no passo anterior.
Calcular o denominador numérico:
Logo
Observação útil: essa resistência AC (~20
) é muito maior que a resistência DC (~0,68
) que teria sido obtida assumindo corrente uniforme. O motivo é que a corrente efetiva circula apenas numa fina película, reduzindo fortemente a área condutora.
Passo 6
Cálculo da potência média dissipada.
Usando
e
(ver Passo 2):
Arredondando de forma razoável:
Pequeno incentivo: isso mostra como altas frequências podem aumentar dramaticamente perdas em condutores grossos por causa do efeito de pele — ponto importante em projetos práticos!