A fim de se comunicar com um submarino, um avião emite uma onda eletromagnética com amplitude de
que incide normalmente na interface
. A freqüência da onda é de 100 kHz e as constantes elétricas da água salgada são
e
. ObSERVAÇÃO: de forma a evitar erros numéricos, fazer os cálculos com a melhor precisão possível.
quanto tempo a onda leva para percorrer a distância de
na água salgada ?
quanto tempo a onda leva para percorrer a distância de
Passo 1
O enunciado pede o tempo que a onda eletromagnética demora para percorrer
na água salgada, dadas as seguintes informações:
- Amplitude (não necessária para o tempo):
. - Frequência:
. - Constantes da água salgada:
, , . - Distância a percorrer:
.
O que preciso calcular: o tempo
que a frente de fase da onda leva para percorrer
. Para isso vou obter a velocidade de fase
no meio condutor e usar
.
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais (explicação didática e o que cada símbolo significa):
- A frequência angular é
, com em Hz e em rad/s. - No meio condutor (permeabilidade
, permissividade , condutividade ) a constante de propagação é complexa
onde
é a atenuação (Np/m) e
é a constante de fase (rad/m).
- A velocidade de fase (a velocidade com que as frentes de fase viajam) é
- Para calcular
explicitamente numa mídia com perdas usa-se a fórmula equivalente (útil para cálculo numérico):
Aqui:
-
é a permissividade absoluta ( é a permissividade do vácuo), -
é a permeabilidade absoluta ( é a permeabilidade do vácuo). - Observação prática: se
(condutor “bom”), existe a aproximação simples
o que dá
Vou calcular com precisão usando a fórmula exata para
e também mostrar a aproximação e comparar (para ver que a aproximação é válida).
Passo 3
Valores numéricos das constantes (usar alta precisão quando possível):
-
. -
. -
-
-
Calcular o parâmetro de perda relativo
Substituindo:
logo
Comentário:
, portanto o meio é bem condutor à frequência dada e a aproximação de bom condutor é válida (mas vou usar a fórmula exata para
e checar a aproximação).
Passo 4
Cálculo exato de
pela fórmula completa:
com
calculado acima.
Primeiro calcule a constante
:
Agora calcule
(note que para
pode-se aproximar por
, mas aqui uso o valor suficiente):
Logo
e
Finalmente,
(Arredondei mantendo muitos dígitos intermediários; o valor é
.)
Verificação pela aproximação de bom condutor:
Note que, por simplificação analítica, com os valores deste problema surge a forma fechada
e para
Hz:
que coincide com o valor obtido pela fórmula exata (diferença irrelevante aqui). Conclusão:
.
Passo 5
Calcular a velocidade de fase e o tempo:
Distância
. Então
Em unidades mais familiares: