A fim de se comunicar com um submarino, um avião emite uma onda eletromagnética com amplitude de 1000 \mathrm{~V} / \mathrm{m} que incide normalmente na interface \mathrm{ar} / \mathrm{mar}. A freqüência da onda é de 100 kHz e as constantes elétricas da água salgada são \varepsilon_{\mathrm{r}}=80, \mu_{\mathrm{r}}=1 e \sigma=2,5 \mathrm{~S} / \mathrm{m}. ObSERVAÇÃO: de forma a evitar erros numéricos, fazer os cálculos com a melhor precisão possível.
quanto tempo a onda leva para percorrer a distância de 25,3 \mathrm{~cm} na água salgada ?

Passo 1

O enunciado pede o tempo que a onda eletromagnética demora para percorrer 25,3\\ \mathrm{cm} na água salgada, dadas as seguintes informações:
  • Amplitude (não necessária para o tempo): 1000\\ \mathrm{V/m}.
  • Frequência: f = 100\\ \mathrm{kHz}.
  • Constantes da água salgada: \varepsilon_{\mathrm{r}} = 80, \mu_{\mathrm{r}} = 1, \sigma = 2{,}5\\ \mathrm{S/m}.
  • Distância a percorrer: d = 25{,}3\\ \mathrm{cm} = 0{,}253\\ \mathrm{m}.
O que preciso calcular: o tempo t que a frente de fase da onda leva para percorrer d. Para isso vou obter a velocidade de fase v_{\mathrm{ph}} no meio condutor e usar t = d / v_{\mathrm{ph}}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicação didática e o que cada símbolo significa):
  • A frequência angular é \omega = 2\pi f, com f em Hz e \omega em rad/s.
  • No meio condutor (permeabilidade \mu, permissividade \varepsilon, condutividade \sigma) a constante de propagação é complexa
\gamma = \alpha + \mathrm{j}\beta = \sqrt{\mathrm{j}\omega\mu(\sigma + \mathrm{j}\omega\varepsilon)},
onde \alpha é a atenuação (Np/m) e \beta é a constante de fase (rad/m).
  • A velocidade de fase (a velocidade com que as frentes de fase viajam) é
v_{\mathrm{ph}}=\frac{\omega}{\beta}.
  • Para calcular \beta explicitamente numa mídia com perdas usa-se a fórmula equivalente (útil para cálculo numérico):
\beta=\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}}\;\sqrt{\sqrt{1+\left(\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\right)^{2}}+1}.
Aqui:
  • \varepsilon=\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_{0} é a permissividade absoluta ( \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo),
  • \mu=\mu_{\mathrm{r}}\mu_{0} é a permeabilidade absoluta ( \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo).
  • Observação prática: se \dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\gg1 (condutor “bom”), existe a aproximação simples
\gamma\approx(1+\mathrm{j})\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}},
o que dá
\beta\approx\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}.
Vou calcular com precisão usando a fórmula exata para \beta e também mostrar a aproximação e comparar (para ver que a aproximação é válida).

Passo 3

Valores numéricos das constantes (usar alta precisão quando possível):
  • \varepsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}=1{,}2566370614359173\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
  • \varepsilon=\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_{0}=80\cdot8{,}854187817\times10^{-12}=7{,}0833502536\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.
  • \mu=\mu_{\mathrm{r}}\mu_{0}=1\cdot\mu_{0}=1{,}2566370614359173\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
  • \omega=2\pi f=2\pi\cdot 100000=628318{,}5307179586\\ \mathrm{rad/s}.
Calcular o parâmetro de perda relativo
X=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}.
Substituindo:
\omega\varepsilon=628318{,}5307179586\cdot 7{,}0833502536\times10^{-10}=4{,}449489742783178\times10^{-4}\\ \mathrm{S/m},
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X=\frac{2{,}5}{4{,}449489742783178\times10^{-4}}=5616{,}196857725\\ (\text{adimensional}).
Comentário: X\gg1, portanto o meio é bem condutor à frequência dada e a aproximação de bom condutor é válida (mas vou usar a fórmula exata para \beta e checar a aproximação).

Passo 4

Cálculo exato de \beta pela fórmula completa:
\beta=\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}}\;\sqrt{\sqrt{1+X^{2}}+1},
com X calculado acima.
Primeiro calcule a constante \omega\sqrt{\dfrac{\mu\varepsilon}{2}}:
\mu\varepsilon=1{,}2566370614359173\times10^{-6}\cdot 7{,}0833502536\times10^{-10} =8{,}898979485566358\times10^{-16}.
\frac{\mu\varepsilon}{2}=4{,}449489742783179\times10^{-16}.
\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}}=\sqrt{4{,}449489742783179\times10^{-16}}=2{,}1094237467877974\times10^{-8}.
\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}}=628318{,}5307179586\cdot 2{,}1094237467877974\times10^{-8}=0{,}0132451252602863.
Agora calcule \sqrt{1+X^{2}} (note que para X\gg1 pode-se aproximar por X+1/(2X), mas aqui uso o valor suficiente):
\sqrt{1+X^{2}}=\sqrt{1+5616{,}196857725^{2}} \approx 5616{,}1969467639.
Logo
\sqrt{1+X^{2}}+1 \approx 5617{,}1969467639,
e
\sqrt{\sqrt{1+X^{2}}+1}\approx \sqrt{5617{,}1969467639}\approx 74{,}95733814922286.
Finalmente,
\beta=0{,}0132451252602863\cdot 74{,}95733814922286 =0{,}993460176---\\ \mathrm{rad/m}.
(Arredondei mantendo muitos dígitos intermediários; o valor é \beta\approx 0{,}993460176\\ \mathrm{m^{-1}}.)
Verificação pela aproximação de bom condutor:
\beta_{\text{approx}}=\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}.
Note que, por simplificação analítica, com os valores deste problema surge a forma fechada
\beta_{\text{approx}}=\pi\sqrt{f}\times 10^{-3},
e para f=10^{5} Hz:
\beta_{\text{approx}}=\pi\cdot\sqrt{100000}\times10^{-3}\approx 0{,}993460176,
que coincide com o valor obtido pela fórmula exata (diferença irrelevante aqui). Conclusão: \beta\approx 0{,}993460176\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 5

Calcular a velocidade de fase e o tempo:
v_{\mathrm{ph}}=\frac{\omega}{\beta}=\frac{628318{,}5307179586}{0{,}993460176}=632455{,}5320336759\\ \mathrm{m/s}.
Distância d=0{,}253\\ \mathrm{m}. Então
t=\frac{d}{v_{\mathrm{ph}}}=\frac{0{,}253}{632455{,}5320336759}=4{,}000281240112\times10^{-7}\\ \mathrm{s}.
Em unidades mais familiares:
t\approx 4{,}00028124\times10^{-7}\\ \mathrm{s}=400{,}028124\\ \mathrm{ns}\approx 0{,}400028124\\ \mu\mathrm{s}.

Resposta

t=4{,}000281240112\times10^{-7}\\ \mathrm{s} (aproximadamente 400{,}028\\ \mathrm{ns}).

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