A fim de se comunicar com um submarino, um avião emite uma onda eletromagnética com amplitude de
que incide normalmente na interface
. A freqüência da onda é de 100 kHz e as constantes elétricas da água salgada são
e
. ObSERVAÇÃO: de forma a evitar erros numéricos, fazer os cálculos com a melhor precisão possível.
supondo que o nível mínimo de funcionamento do receptor do submarino corresponda a um campo elétrico de
na região de sua antena, calcular a profundidade máxima do submarino de forma que a comunicação não seja interrompida.
supondo que o nível mínimo de funcionamento do receptor do submarino corresponda a um campo elétrico de
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Dados fornecidos:
- Amplitude da onda no ar (incidente):
. - Frequência:
. - Constantes da água salgada:
, , . - Nível mínimo requerido no receptor do submarino:
. - Incidência normal na interface ar/mar.
- Amplitude da onda no ar (incidente):
- O que se pede:
- Calcular a profundidade máxima
tal que o campo elétrico no local da antena do submarino seja pelo menos , ou seja, a menor profundidade a partir da qual o sinal cai até .
- Calcular a profundidade máxima
Passo 2
Plano físico e fórmulas essenciais (explicadas de forma didática):
- Quando uma onda eletromagnética incide normalmente de um meio 1 (ar) em um meio 2 (água salgada), há duas coisas importantes que reduzem o campo dentro do meio 2:
- Reflexão na interface (parte da onda é refletida), determinada pelas impedâncias características dos meios.
- Atenuação por propagação no interior do meio condutor, descrita pelo coeficiente de atenuação
(o campo decai como ).
- Então o módulo do campo elétrico em profundidade
dentro da água é onde é o coeficiente de transmissão (razão entre amplitude do campo transmitido imediatamente abaixo da interface e a amplitude incidente), e é o coeficiente de atenuação (em ). - Para incidência normal, as quantidades usadas são:
- Impedância intrínseca de um meio:
. Para meios não condutores puros, e isso reduz à forma usual . - Coeficiente de transmissão de campo elétrico (na convenção de fasores) de 1 para 2:
Aqui é a impedância do ar e a da água salgada. - Constante de propagação
em meio condutor: A parte real é o coeficiente de atenuação. - Frequência angular:
.
- Impedância intrínseca de um meio:
- Objetivo matemático: encontrar
tal que , ou seja - Observação prática: para água salgada em baixa frequência tipicamente
, o que permite usar aproximações do tipo “bom condutor”. Vamos verificar essa condição e, quando apropriado, usar a aproximação clássica para e que é muito precisa e numericamente estável.
Passo 3
Calcular parâmetros materiais e verificar a condição
:
- Constantes físicas:
- Parâmetros efetivos do meio (água salgada):
- Frequência angular:
- Calcular
e comparar com : Como , tem-se Portanto a água, nessa frequência, comporta-se como um bom condutor e as aproximações para condutor são válidas e numérica e fisicamente apropriadas.
Passo 4
Calcular o coeficiente de atenuação
(e a profundidade de penetração) usando a fórmula exata via raiz quadrada complexa, com explicação da técnica de cálculo:
- Escrever
explicitamente: Denotar então . - A raiz quadrada de um número complexo
pode ser escrita em partes reais e imaginárias como com Isso evita ambiguidades de ramo e é uma forma numérica estável. - Calcular
e :
- Módulo
. - Então
- A profundidade de penetração (skin depth)
é : Interpretação: a cada aproximadamente de água o campo decai por um fator .
Passo 5
Calcular a impedância intrínseca dos meios e o coeficiente de transmissão
:
- Impedância do ar (aproximada pelo vácuo):
- Para um bom condutor, a expressão aproximada (muito precisa quando
) para é Explicação intuitiva: em condutores bons a impedância é complexa com partes real e imaginária iguais em módulo e pequena magnitude; o fator indica defasagem de . - Calcular a magnitude de
: A componente complexa em forma aproximada é onde . - Agora o coeficiente de transmissão em módulo:
Como é puramente real e muito maior que , o denominador é dominado por e podemos calcular com alta precisão por - Portanto a amplitude do campo transmitido imediatamente abaixo da interface (em
) é
Passo 6
Determinar a profundidade máxima
:
- Condição
implica - Substituindo os valores numéricos com boa precisão: