A fim de se comunicar com um submarino, um avião emite uma onda eletromagnética com amplitude de 1000 \mathrm{~V} / \mathrm{m} que incide normalmente na interface \mathrm{ar} / \mathrm{mar}. A freqüência da onda é de 100 kHz e as constantes elétricas da água salgada são \varepsilon_{\mathrm{r}}=80, \mu_{\mathrm{r}}=1 e \sigma=2,5 \mathrm{~S} / \mathrm{m}. ObSERVAÇÃO: de forma a evitar erros numéricos, fazer os cálculos com a melhor precisão possível.
supondo que o nível mínimo de funcionamento do receptor do submarino corresponda a um campo elétrico de 1 \mu \mathrm{~V} / \mathrm{m} na região de sua antena, calcular a profundidade máxima do submarino de forma que a comunicação não seja interrompida.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Amplitude da onda no ar (incidente): E_{\mathrm{i}}=1000\\ \mathrm{V/m}.
    • Frequência: f=100{,}0\\ \mathrm{kHz}.
    • Constantes da água salgada: \varepsilon_{\mathrm{r}}=80, \mu_{\mathrm{r}}=1, \sigma=2{,}5\\ \mathrm{S/m}.
    • Nível mínimo requerido no receptor do submarino: E_{\min}=1\\ \mu\mathrm{V/m}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{V/m}.
    • Incidência normal na interface ar/mar.
  • O que se pede:
    • Calcular a profundidade máxima d_{\max} tal que o campo elétrico no local da antena do submarino seja pelo menos E_{\min}, ou seja, a menor profundidade a partir da qual o sinal cai até E_{\min}.

Passo 2

Plano físico e fórmulas essenciais (explicadas de forma didática):
  • Quando uma onda eletromagnética incide normalmente de um meio 1 (ar) em um meio 2 (água salgada), há duas coisas importantes que reduzem o campo dentro do meio 2:
    1. Reflexão na interface (parte da onda é refletida), determinada pelas impedâncias características dos meios.
    2. Atenuação por propagação no interior do meio condutor, descrita pelo coeficiente de atenuação \alpha (o campo decai como e^{-\alpha z}).
  • Então o módulo do campo elétrico em profundidade z\ge 0 dentro da água é |E(z)| = |t|\,|E_{\mathrm{i}}|\,e^{-\alpha z},onde t é o coeficiente de transmissão (razão entre amplitude do campo transmitido imediatamente abaixo da interface e a amplitude incidente), e \alpha é o coeficiente de atenuação (em \mathrm{m^{-1}}).
  • Para incidência normal, as quantidades usadas são:
    • Impedância intrínseca de um meio: \displaystyle \eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}}. Para meios não condutores puros, \sigma=0 e isso reduz à forma usual \sqrt{\mu/\varepsilon}.
    • Coeficiente de transmissão de campo elétrico (na convenção de fasores) de 1 para 2: t=\frac{2\eta_2}{\eta_1+\eta_2}.Aqui \eta_1 é a impedância do ar e \eta_2 a da água salgada.
    • Constante de propagação \gamma=\alpha+j\beta em meio condutor: \gamma=\sqrt{j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)}.A parte real \alpha é o coeficiente de atenuação.
    • Frequência angular: \omega=2\pi f.
  • Objetivo matemático: encontrar d_{\max} tal que |E(d_{\max})|=E_{\min}, ou seja E_{\min}=|t|\,E_{\mathrm{i}}\,e^{-\alpha d_{\max}} \quad\Rightarrow\quad d_{\max}=\frac{1}{\alpha}\ln\!\left(\frac{|t|\,E_{\mathrm{i}}}{E_{\min}}\right).
  • Observação prática: para água salgada em baixa frequência tipicamente \sigma\gg\omega\varepsilon, o que permite usar aproximações do tipo “bom condutor”. Vamos verificar essa condição e, quando apropriado, usar a aproximação clássica para \eta_2 e \alpha que é muito precisa e numericamente estável.

Passo 3

Calcular parâmetros materiais e verificar a condição \sigma\gg\omega\varepsilon:
  • Constantes físicas: \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},\qquad \mu_0=4\pi\times10^{-7}=1{,}2566370614359173\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
  • Parâmetros efetivos do meio (água salgada): \varepsilon=\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_0=80\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}=7{,}0833502536\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m},
\mu=\mu_{\mathrm{r}}\mu_0=1\cdot\mu_0=1{,}2566370614359173\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
  • Frequência angular: \omega=2\pi f=2\pi\cdot 100{,}0\times10^{3}=628\,318{,}5307179587\\ \mathrm{rad/s}.
  • Calcular \omega\varepsilon e comparar com \sigma: \omega\varepsilon =628\,318{,}5307179587\cdot 7{,}0833502536\times10^{-10} \approx 4{,}450011\times10^{-4}\\ \mathrm{S/m}.Como \sigma=2{,}5\\ \mathrm{S/m}, tem-se \frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\approx\frac{2{,}5}{4{,}450011\times10^{-4}}\approx 5{,}62\times10^{3}\gg1.Portanto a água, nessa frequência, comporta-se como um bom condutor e as aproximações para condutor são válidas e numérica e fisicamente apropriadas.

Passo 4

Calcular o coeficiente de atenuação \alpha (e a profundidade de penetração) usando a fórmula exata via raiz quadrada complexa, com explicação da técnica de cálculo:
  • Escrever \gamma^2 explicitamente: \gamma^2 = j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) = -\omega^2\mu\varepsilon + j(\omega\mu\sigma).Denotar x=-\omega^2\mu\varepsilon,\qquad y=\omega\mu\sigma,então \gamma^2=x+j y.
  • A raiz quadrada de um número complexo x+j y pode ser escrita em partes reais e imaginárias como \gamma=\alpha+j\beta,com \alpha=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}},\qquad \beta=\operatorname{sign}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}}.Isso evita ambiguidades de ramo e é uma forma numérica estável.
  • Calcular x e y: x=-\omega^2\mu\varepsilon\approx -3{,}511700\times10^{-4},
y=\omega\mu\sigma\approx 1{,}973920878\\ (\text{unidade } \mathrm{m^{-2}}? \text{ mas aqui é parte de }\gamma^2).é
  • Módulo \sqrt{x^2+y^2}\approx 1{,}973920909.
  • Então \alpha=\sqrt{\frac{1{,}973920909 + (-0{,}0003511700)}{2}} =\sqrt{0{,}986784869}\approx 0{,}993373\\ \mathrm{m^{-1}}.
\beta=\sqrt{\frac{1{,}973920909 - (-0{,}0003511700)}{2}} =\sqrt{0{,}987136039}\approx 0{,}993545\\ \mathrm{rad/m}.
  • A profundidade de penetração (skin depth) \delta é \delta=1/\alpha: \delta=\frac{1}{\alpha}\approx\frac{1}{0{,}993373}\approx 1{,}006661\\ \mathrm{m}.Interpretação: a cada aproximadamente 1{,}0067\\ \mathrm{m} de água o campo decai por um fator e^{-1}\approx0{,}3679.

Passo 5

Calcular a impedância intrínseca dos meios e o coeficiente de transmissão t:
  • Impedância do ar (aproximada pelo vácuo): \eta_1=\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\approx 376{,}730313668\\ \Omega.
  • Para um bom condutor, a expressão aproximada (muito precisa quando \sigma\gg\omega\varepsilon) para \eta_2 é \eta_2\approx(1-j)\sqrt{\frac{\omega\mu}{2\sigma}}.Explicação intuitiva: em condutores bons a impedância é complexa com partes real e imaginária iguais em módulo e pequena magnitude; o fator (1-j) indica defasagem de -45^\circ.
  • Calcular a magnitude de \eta_2: |\eta_2|\approx\sqrt{\frac{\omega\mu}{\sigma}} \approx\sqrt{\frac{0{,}789568352}{2{,}5}} \approx 0{,}562028\\ \Omega.A componente complexa em forma aproximada é \eta_2\approx 0{,}397546 - j\,0{,}397546\\ \Omegaonde 0{,}397546=\sqrt{\dfrac{\omega\mu}{2\sigma}}.
  • Agora o coeficiente de transmissão em módulo: t=\frac{2\eta_2}{\eta_1+\eta_2}.Como \eta_1 é puramente real e muito maior que |\eta_2|, o denominador é dominado por \eta_1 e podemos calcular |t| com alta precisão por |t|=\frac{2|\eta_2|}{|\eta_1+\eta_2|} \approx\frac{2\cdot 0{,}562028}{\sqrt{(376{,}730313668+0{,}397546)^2+( -0{,}397546)^2}} \approx\frac{1{,}124056}{377{,}1278597} \approx 0{,}0029816.
  • Portanto a amplitude do campo transmitido imediatamente abaixo da interface (em z=0^+) é E(0^+)=|t|\,E_{\mathrm{i}}\approx 0{,}0029816\cdot 1000\\ \mathrm{V/m}\approx 2{,}9816\\ \mathrm{V/m}.

Passo 6

Determinar a profundidade máxima d_{\max}:
  • Condição |E(d_{\max})|=E_{\min} implica d_{\max}=\frac{1}{\alpha}\ln\!\left(\frac{|t|\,E_{\mathrm{i}}}{E_{\min}}\right).
  • Substituindo os valores numéricos com boa precisão: \frac{|t|\,E_{\mathrm{i}}}{E_{\min}}=\frac{0{,}0029816\cdot 1000}{1\times10^{-6}} =2{,}9816\times10^{6}.
\ln\!\left(2{,}9816\times10^{6}\right)=\ln(2{,}9816)+\ln(10^{6}) \approx 1{,}09300+13{,}8155106=14{,}9085106.
d_{\max}=\frac{1}{0{,}993373}\cdot 14{,}9085106\approx 15{,}008\\ \mathrm{m}.

Resposta

d_{\max}\approx 15{,}0\\ \mathrm{m}

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