Um condutor cilíndrico longo, de raio a, que não possui carga líquida se situa num campo elétrico inicialmente uniforme \vec{E}_{0}. A direção de \vec{E}_{0} é perpendicular ao eixo do cilindro. Determine o potencial para pontos exteriores ao cilindro e determine também a densidade de carga na superfície cilíndrica.

Passo 1

O enunciado dá um condutor cilíndrico longo de raio a, sem carga líquida, colocado num campo elétrico uniforme \vec{E}_0. A direção de \vec{E}_0 é perpendicular ao eixo do cilindro. As perguntas são:
  • Determinar o potencial elétrico para pontos exteriores ao cilindro (ou seja, para r\ge a, em coordenadas cilíndricas polares no plano perpendicular ao eixo).
  • Determinar a densidade de carga \sigma na superfície lateral do cilindro.
Informações relevantes que vamos usar (tiradas do enunciado):
  • Cilindro infinito (problema efetivamente bidimensional no plano r,\theta, sem dependência em z).
  • Campo externo uniforme \vec{E}_0 perpendicular ao eixo; podemos escolher o eixo x na direção de \vec{E}_0.
  • O condutor é equipotencial (potencial constante em r=a).
  • O condutor não tem carga líquida (isto deve ser verificado/consistente com a solução).
  • Queremos o potencial fora do cilindro e a densidade de carga superficial resultante da indução.

Passo 2

Escolha de coordenadas e simetria.
  • Trabalhamos no plano perpendicular ao eixo do cilindro com coordenadas polares (r,\theta), tomando \theta=0 na direção de \vec{E}_0 (ou seja, \vec{E}_0 aponta para \theta=0 / eixo x).
  • Como o problema não depende de z e tem simetria translacional ao longo do eixo, reduz-se a um problema 2D de potenciais no plano: buscamos \Phi(r,\theta) que satisfaça a equação de Laplace fora do cilindro ( r\ge a).
  • No infinito o campo é uniforme \vec{E}_0; o potencial correspondente (escolhendo um constante) tem dependência angular em \cos\theta e cresce com r como -E_0 r\cos\theta. Isso indica que a solução vai envolver apenas o harmônico angular de ordem n=1 (termos em \cos\theta).

Passo 3

Escrever a equação de Laplace e a forma geral da solução por separação de variáveis.
  • A equação de Laplace no plano (sem dependência em z) é \nabla^2 \Phi=0. Em coordenadas polares a solução geral regular fora de fontes pode ser escrita como combinação de harmônicos angulares:
\Phi(r,\theta)=A_0 + B_0\ln r + \sum_{n=1}^{\infty}\left( A_n r^n + B_n r^{-n}\right)\cos(n\theta) + \sum_{n=1}^{\infty}\left( C_n r^n + D_n r^{-n}\right)\sin(n\theta).
  • No nosso caso não há dependência em \sin(n\theta) porque o problema é simétrico em reflexão com respeito ao plano \theta=0 (campo externo em \cos\theta). Além disso, não queremos singularidade em r\to\infty (exceto o crescimento imposto pelo campo uniforme), então termos com r^n para n\ge2 devem ser zero e o termo B_0\ln r deve ser zero para evitar divergência com r\to\infty. O comportamento no infinito imposto pelo campo uniforme é:
\Phi(r,\theta)\xrightarrow{r\to\infty} -E_0 r\cos\theta \quad(\text{mais uma constante}).
  • Isso indica que apenas o harmônico n=1 é necessário e que para \,r\ge a a solução tem a forma
\Phi(r,\theta)=\left(A_1 r + B_1 r^{-1}\right)\cos\theta + \text{const}.

Passo 4

Impor as condições de contorno para determinar os coeficientes.
  • Condição no infinito: para r\to\infty devemos ter \Phi\sim -E_0 r\cos\theta + \text{const}. Comparando com a forma \left(A_1 r + B_1 r^{-1}\right)\cos\theta vemos que
A_1 = -E_0.
  • Condição no condutor: o condutor é equipotencial em r=a. Podemos escolher a constante de potencial do condutor como zero (qualquer constante é admissível; escolher zero simplifica). Assim:
\Phi(a,\theta)=0\quad\text{para todo }\theta.
Substituindo r=a na forma da solução (e tirando a constante igual a zero),
\left(A_1 a + B_1 a^{-1}\right)\cos\theta = 0 \quad\Rightarrow\quad A_1 a + B_1 a^{-1}=0.
Substituindo A_1=-E_0:
-E_0 a + B_1 a^{-1}=0 \quad\Rightarrow\quad B_1 = E_0 a^{2}.

Passo 5

Escrever o potencial final para r\ge a e comentar sua forma.
  • Substituindo os coeficientes obtidos, a solução externa é
\Phi(r,\theta)=\left(-E_0 r + E_0 \frac{a^{2}}{r}\right)\cos\theta.
  • Podemos reescrever de forma mais direta:
\Phi(r,\theta) = -E_0\!\left(r - \frac{a^{2}}{r}\right)\cos\theta,\qquad r\ge a.
Explicação física curta: o primeiro termo -E_0 r\cos\theta corresponde ao potencial do campo uniforme externo; o segundo termo \;E_0 a^{2}\,r^{-1}\cos\theta\; é o termo induzido pelo condutor, equivalente a um dipolo de perna proporcional a a^{2}E_0, que ajusta a superfície r=a para ser equipotencial.

Passo 6

Calcular o campo elétrico e a densidade de carga superficial \sigma(\theta).
  • O campo elétrico fora do condutor é \vec{E}=-\nabla\Phi. No bordo r=a o campo interno vale zero (condutor), então a densidade superficial está dada pela condição de salto do campo normal:
\sigma(\theta)=\epsilon_0\left(E_{r,\text{out}}-E_{r,\text{in}}\right)=\epsilon_0 E_{r,\text{out}}\quad(\text{pois }E_{r,\text{in}}=0).
  • O componente radial do campo fora é E_r=-\partial\Phi/\partial r. Calcule a derivada:
\frac{\partial\Phi}{\partial r} = -E_0\left(1 + \frac{a^{2}}{r^{2}}\right)\cos\theta.
Portanto, no contorno r=a,
E_{r,\text{out}}(a,\theta) = -\left.\frac{\partial\Phi}{\partial r}\right|_{r=a} = -\big( -E_0(1+1)\cos\theta \big) = 2E_0\cos\theta.
  • Assim a densidade de carga superficial é
\sigma(\theta)=\epsilon_0 \, 2E_0\cos\theta = 2\epsilon_0 E_0 \cos\theta.
Interpretação: em \theta=0 (lado voltado na direção de \vec{E}_0) \sigma é positiva e igual a 2\epsilon_0 E_0; em \theta=\pi é negativa -2\epsilon_0 E_0. A integral total sobre \theta é nula, porque \int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0, consistente com o enunciado de carga líquida zero.

Passo 7

Checagens e lembretes práticos para a prova.
  • Por que só o termo n=1? Porque o campo externo tem variação angular \cos\theta (dipolar) e não introduz simetria que gere termos de ordem maior; a solução é a combinação do campo externo e do termo induzido de ordem r^{-1} necessário para tornar r=a equipotencial.
  • Verificação rápida da neutralidade: calcule \displaystyle Q_{\rm total}=\int_0^{2\pi}\sigma(\theta)\,a\,d\theta = 2\epsilon_0 E_0 a \int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0.
  • Fórmulas úteis: para problemas 2D com simetria angular, procure soluções em harmônicos \cos(n\theta),\sin(n\theta) e combine termos em r^n e r^{-n}. Para condutor infinito escolha condição de potencial constante em r=a e comportamento no infinito compatível com o campo externo.

Resposta

\displaystyle \Phi(r,\theta) = -E_0\!\left(r - \frac{a^{2}}{r}\right)\cos\theta \quad (r\ge a)\n
\displaystyle \sigma(\theta)=2\epsilon_0 E_0 \cos\theta

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