Demonstre que, para uma esfera condutora não carregada, situada num campo elétrico inicialmente uniforme, o potencial devido à esfera é o de um dipolo puntiforme e determine o momento de dipolo induzido.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Mostrar que, para uma esfera condutora neutra de raio \,a colocada em um campo elétrico externo inicialmente uniforme \,\mathbf{E}_0 (direcionado, sem perda de generalidade, ao longo do eixo z), o potencial elétrico produzido pela esfera, visto do exterior, tem a forma do potencial de um dipolo puntiforme.
  • Determinar o momento de dipolo induzido \,\mathbf{p}.
Informações dadas / condições a usar:
  • Esfera condutora de raio \,a, neutra (carga total zero).
  • Campo externo uniforme \,\mathbf{E}_0 apontando ao longo do eixo z. Vou representar o módulo por \,E_0 e a direção por \hat{\mathbf{z}}, ou seja \,\mathbf{E}_0 = E_0\hat{\mathbf{z}}.
  • Potencial devido ao campo externo, no espaço livre, é -E_0 z.
  • A esfera é condutora: potencial na superfície é constante. Para uma esfera neutra isolada inserida num campo externo e sem outra conexão, essa constante pode ser tomada como zero (adotamos um referencial de potencial tal que \Phi=0 na superfície).
  • Queremos o potencial fora da esfera ( r\ge a) e o momento de dipolo induzido.

Passo 2

Escolha de coordenadas e idea geral da solução (intuição antes de começar as contas).
  • Uso coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) com \theta medido a partir do eixo z (simetria axial em \varphi — nenhuma dependência em \varphi).
  • Fora da esfera (região livre de cargas, exceto cargas induzidas na superfície da esfera) o potencial \Phi(r,\theta) satisfaz a equação de Laplace:
\nabla^2 \Phi = 0.
  • Para problemas com simetria axial a solução geral regular pode ser escrita como soma de termos proporcionais aos polinômios de Legendre P_\ell(\cos\theta). Especificamente, a solução exterior (com decaimento no infinito) tem a forma
\Phi_{\text{ext}}(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{B_\ell}{r^{\ell+1}} P_\ell(\cos\theta),
enquanto a solução que cresce com r (termos \sim r^\ell) representa potenciais aplicados de grande extensão (como o campo uniforme). O campo externo uniforme introduz um termo proporcional a r\cos\theta, que é o modo \ell=1 do tipo crescente:
\Phi_{\text{ext,aplicado}}(r,\theta) = -E_0 r \cos\theta.
  • Portanto, a solução total fora da esfera é combinação do campo aplicado e dos termos decrescentes (induzidos) compatíveis com simetria \cos\theta. Por causa da simetria do problema apenas o termo \ell=1 aparece não nulo (modos \ell\ne1 não são excitados pelo campo uniforme e pela condição esférica constante).

Passo 3

Escrever a forma ansatz da solução exterior e interior, com explicação do porquê.
  • Pelo argumento acima, a forma mais simples que atende simetria e condições no infinito é
\Phi(r,\theta) = -E_0 r \cos\theta + \frac{A}{r^{2}} \cos\theta\qquad (r\ge a),
onde A é uma constante a determinar. Aqui:
  • O primeiro termo -E_0 r \cos\theta é o potencial do campo externo uniforme (note que \mathbf{E}=-\nabla\Phi \mathbf{E}=E_0\hat{\mathbf{z}} com esse sinal escolhido).
  • O segundo termo \dfrac{A\cos\theta}{r^{2}} é o modo \ell=1 decrescente, que é exatamente a forma angular P_1(\cos\theta)=\cos\theta com dependência radial r^{-2} típica do potencial dipolar.
  • Dentro da esfera condutora, por ser condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é nulo e o potencial é constante. Tomamos essa constante como zero (escolha do referencial):
\Phi(r,\theta) = 0\qquad (r\le a).
  • Resta aplicar a condição de contorno na superfície r=a: o potencial é contínuo e igual a zero na superfície:
\Phi(a,\theta)=0.

Passo 4

Aplicar a condição de contorno na superfície r=a para determinar A.
  • Substituindo r=a em \Phi(r,\theta) e impondo \Phi(a,\theta)=0:
0 = -E_0 a \cos\theta + \frac{A}{a^{2}} \cos\theta.
  • Fatorando \cos\theta (não identicamente zero para todos \theta; a condição deve valer para todo \theta):
-E_0 a + \frac{A}{a^{2}} = 0.
  • Portanto
A = E_0 a^{3}.

Passo 5

Escrever o potencial resultante no exterior e identificar a parte dipolar.
  • Substituindo A na expressão em r\ge a:
\Phi(r,\theta) = -E_0 r \cos\theta + E_0 \frac{a^{3}}{r^{2}}\cos\theta.
  • A segunda parcela é exatamente o potencial de um dipolo puntiforme colocado na origem. Lembrete da forma do potencial de um dipolo puntiforme de momento \mathbf{p}=p\hat{\mathbf{z}}:
\Phi_{\text{dip}}(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p\cos\theta}{r^{2}}.
  • Comparando
E_0 \frac{a^{3}}{r^{2}}\cos\theta \quad\text{com}\quad \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p\cos\theta}{r^{2}},
vemos que o termo induzido pela esfera se comporta como potencial dipolar com momento
p = 4\pi\varepsilon_0 E_0 a^{3}.
Portanto o potencial devido à esfera, visto do exterior, é a soma do potencial externo uniforme e do potencial de um dipolo puntiforme de momento p dado acima; a parte induzida é exatamente a do dipolo.

Passo 6

(Verificação extra — cálculo da densidade de carga induzida e integração para obter \mathbf{p}). — útil para aprender a aplicar na prova.
  • A densidade superficial de carga induzida numa superfície condutora é dada por
\sigma(\theta) = -\varepsilon_0 \left.\frac{\partial \Phi_{\text{ext}}}{\partial r}\right|_{r=a}.
  • Calcule \partial\Phi/\partial r a partir de \Phi(r,\theta) = \big(-E_0 r + E_0 a^3 r^{-2}\big)\cos\theta:
\frac{\partial\Phi}{\partial r} = \left(-E_0 - 2E_0\frac{a^{3}}{r^{3}}\right)\cos\theta.
Avaliado em r=a:
\left.\frac{\partial\Phi}{\partial r}\right|_{r=a} = (-E_0 - 2E_0)\cos\theta = -3E_0\cos\theta.
  • Logo
\sigma(\theta) = -\varepsilon_0(-3E_0\cos\theta) = 3\varepsilon_0 E_0 \cos\theta.
  • O momento de dipolo resultante (apontando para z) é
p_z = \int_{S} \sigma(\theta)\, (a\cos\theta)\, dS,
onde dS = a^{2}\sin\theta\, d\theta\, d\varphi e o fator a\cos\theta é a coordenada z do elemento de área. Assim
p_z = \int_{0}^{2\pi}\!\! d\varphi \int_{0}^{\pi} \big(3\varepsilon_0 E_0 \cos\theta\big)(a\cos\theta)\big(a^{2}\sin\theta\big)\, d\theta.
  • Executando as integrais:
p_z = 3\varepsilon_0 E_0 a^{3} \cdot 2\pi \int_{0}^{\pi} \cos^{2}\theta \sin\theta\, d\theta.
Fazendo u=\cos\theta ( du=-\sin\theta\,d\theta), a integral em \theta torna-se
\int_{0}^{\pi} \cos^{2}\theta \sin\theta\, d\theta = \int_{1}^{-1} u^{2}(-du) = \int_{-1}^{1} u^{2}\, du = \frac{2}{3}.
  • Portanto
p_z = 3\varepsilon_0 E_0 a^{3} \cdot 2\pi \cdot \frac{2}{3} = 4\pi\varepsilon_0 E_0 a^{3},
coincidindo com o valor obtido por comparação direta com o potencial dipolar. A esfera permanece com carga total nula, já que a integral de \sigma sobre a superfície é zero (simetria ímpar em \cos\theta).

Passo 7

Resumo interpretativo (como lembrar e aplicar na prova).
  • Estrutura típica do problema: expandir potencial externo em modos de Legendre; para campo uniforme só o modo \ell=1 é relevante; solução externa é soma do termo aplicado \sim r P_1(\cos\theta) e do termo induzido \sim r^{-2} P_1(\cos\theta); impor \Phi(a,\theta)=\text{const} fixa a amplitude do termo induzido.
  • Resultado prático imediato que vale decorar/usar rapidamente:
\Phi(r,\theta) = -E_0 r \cos\theta + E_0 \frac{a^{3}}{r^{2}}\cos\theta \quad (r\ge a),
e momento induzido
\mathbf{p} = 4\pi\varepsilon_0 a^{3} E_0\,\hat{\mathbf{z}}.

Resposta

\Phi_{\text{ext}}(r,\theta) = -E_0 r \cos\theta + E_0 \dfrac{a^{3}}{r^{2}}\cos\theta \quad (r\ge a)
\mathbf{p} = 4\pi\varepsilon_0 a^{3} E_0\,\hat{\mathbf{z}}

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