Demonstre que, para uma esfera condutora não carregada, situada num campo elétrico inicialmente uniforme, o potencial devido à esfera é o de um dipolo puntiforme e determine o momento de dipolo induzido.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Mostrar que, para uma esfera condutora neutra de raio \,a colocada em um campo elétrico externo inicialmente uniforme \,\mathbf{E}_0 (direcionado, sem perda de generalidade, ao longo do eixo z), o potencial elétrico produzido pela esfera, visto do exterior, tem a forma do potencial de um dipolo puntiforme.
Determinar o momento de dipolo induzido \,\mathbf{p}.
Informações dadas / condições a usar:
Esfera condutora de raio \,a, neutra (carga total zero).
Campo externo uniforme \,\mathbf{E}_0 apontando ao longo do eixo z. Vou representar o módulo por \,E_0 e a direção por \hat{\mathbf{z}}, ou seja \,\mathbf{E}_0 = E_0\hat{\mathbf{z}}.
Potencial devido ao campo externo, no espaço livre, é -E_0 z.
A esfera é condutora: potencial na superfície é constante. Para uma esfera neutra isolada inserida num campo externo e sem outra conexão, essa constante pode ser tomada como zero (adotamos um referencial de potencial tal que \Phi=0 na superfície).
Queremos o potencial fora da esfera (r\ge a) e o momento de dipolo induzido.
Passo 2
Escolha de coordenadas e idea geral da solução (intuição antes de começar as contas).
Uso coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) com \theta medido a partir do eixo z (simetria axial em \varphi — nenhuma dependência em \varphi).
Fora da esfera (região livre de cargas, exceto cargas induzidas na superfície da esfera) o potencial \Phi(r,\theta) satisfaz a equação de Laplace:
\nabla^2 \Phi = 0.
Para problemas com simetria axial a solução geral regular pode ser escrita como soma de termos proporcionais aos polinômios de Legendre P_\ell(\cos\theta). Especificamente, a solução exterior (com decaimento no infinito) tem a forma
enquanto a solução que cresce com r (termos \sim r^\ell) representa potenciais aplicados de grande extensão (como o campo uniforme). O campo externo uniforme introduz um termo proporcional a r\cos\theta, que é o modo \ell=1 do tipo crescente:
\Phi_{\text{ext,aplicado}}(r,\theta) = -E_0 r \cos\theta.
Portanto, a solução total fora da esfera é combinação do campo aplicado e dos termos decrescentes (induzidos) compatíveis com simetria \cos\theta. Por causa da simetria do problema apenas o termo \ell=1 aparece não nulo (modos \ell\ne1 não são excitados pelo campo uniforme e pela condição esférica constante).
Passo 3
Escrever a forma ansatz da solução exterior e interior, com explicação do porquê.
Pelo argumento acima, a forma mais simples que atende simetria e condições no infinito é
\Phi(r,\theta) = -E_0 r \cos\theta + \frac{A}{r^{2}} \cos\theta\qquad (r\ge a),
onde A é uma constante a determinar. Aqui:
O primeiro termo -E_0 r \cos\theta é o potencial do campo externo uniforme (note que \mathbf{E}=-\nabla\Phi dá \mathbf{E}=E_0\hat{\mathbf{z}} com esse sinal escolhido).
O segundo termo \dfrac{A\cos\theta}{r^{2}} é o modo \ell=1 decrescente, que é exatamente a forma angular P_1(\cos\theta)=\cos\theta com dependência radial r^{-2} típica do potencial dipolar.
Dentro da esfera condutora, por ser condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é nulo e o potencial é constante. Tomamos essa constante como zero (escolha do referencial):
\Phi(r,\theta) = 0\qquad (r\le a).
Resta aplicar a condição de contorno na superfície r=a: o potencial é contínuo e igual a zero na superfície:
\Phi(a,\theta)=0.
Passo 4
Aplicar a condição de contorno na superfície r=a para determinar A.
Substituindo r=a em \Phi(r,\theta) e impondo \Phi(a,\theta)=0:
0 = -E_0 a \cos\theta + \frac{A}{a^{2}} \cos\theta.
Fatorando \cos\theta (não identicamente zero para todos \theta; a condição deve valer para todo \theta):
-E_0 a + \frac{A}{a^{2}} = 0.
Portanto
A = E_0 a^{3}.
Passo 5
Escrever o potencial resultante no exterior e identificar a parte dipolar.
Substituindo A na expressão em r\ge a:
\Phi(r,\theta) = -E_0 r \cos\theta + E_0 \frac{a^{3}}{r^{2}}\cos\theta.
A segunda parcela é exatamente o potencial de um dipolo puntiforme colocado na origem. Lembrete da forma do potencial de um dipolo puntiforme de momento \mathbf{p}=p\hat{\mathbf{z}}:
vemos que o termo induzido pela esfera se comporta como potencial dipolar com momento
p = 4\pi\varepsilon_0 E_0 a^{3}.
Portanto o potencial devido à esfera, visto do exterior, é a soma do potencial externo uniforme e do potencial de um dipolo puntiforme de momento p dado acima; a parte induzida é exatamente a do dipolo.
Passo 6
(Verificação extra — cálculo da densidade de carga induzida e integração para obter \mathbf{p}). — útil para aprender a aplicar na prova.
A densidade superficial de carga induzida numa superfície condutora é dada por
coincidindo com o valor obtido por comparação direta com o potencial dipolar. A esfera permanece com carga total nula, já que a integral de \sigma sobre a superfície é zero (simetria ímpar em \cos\theta).
Passo 7
Resumo interpretativo (como lembrar e aplicar na prova).
Estrutura típica do problema: expandir potencial externo em modos de Legendre; para campo uniforme só o modo \ell=1 é relevante; solução externa é soma do termo aplicado \sim r P_1(\cos\theta) e do termo induzido \sim r^{-2} P_1(\cos\theta); impor \Phi(a,\theta)=\text{const} fixa a amplitude do termo induzido.
Resultado prático imediato que vale decorar/usar rapidamente: