Considere que o espaço entre os condutores interno e externo de um longo cabo co-axial cilíndrico é preenchido com uma nuvem de elétrons tendo uma densidade de carga \rho=\frac{A}{r} para a<r<b, onde a e b são os raios interno e externo dos condutores, respectivamente. O condutor interno é mantido a um potencial V_{0}, e o condutor externo está aterrado. Use a equação de Poisson para determinar o potencial eletrostático na região a<r<b.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o potencial eletrostático no espaço entre os condutores interno e externo de um cabo coaxial, onde há uma nuvem de elétrons com densidade de carga dada. Informações e perguntas claras retiradas do enunciado:
  • Geometria: cabo coaxial longo (comprimento muito maior que os raios), com raios do condutor interno e externo dados por a e b, respectivamente, com a< b.
  • Região de interesse: a<r<b (espaço entre os condutores).
  • Densidade volumétrica de carga nessa região: \rho(r)=\dfrac{A}{r} para a<r<b. (Valor de A dado como constante.)
  • Condições de contorno elétricas: condutor interno mantido ao potencial V_{0} e condutor externo aterrado (potencial 0 em r=b).
  • Pergunta: usar a equação de Poisson para determinar o potencial eletrostático V(r) na região a<r<b.

Passo 2

Por que podemos usar uma equação radial simples? Explicando a simetria e a equação de Poisson:
  • Como o cabo é longo e uniforme no eixo longitudinal, e a distribuição de carga depende apenas de r (não de \theta nem de z), o potencial também depende somente de r: V=V(r).
  • A equação de Poisson em vácuo vale
\nabla^{2}V(r) = -\dfrac{\rho(r)}{\varepsilon_{0}},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
  • Em coordenadas cilíndricas, para uma função que depende apenas de r, o laplaciano é
\nabla^{2}V(r)=\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dr}\!\left(r\dfrac{dV}{dr}\right).
Portanto a equação de Poisson reduz-se a uma equação ordinária em r.

Passo 3

Escrever a equação diferencial explícita usando \rho(r)=\dfrac{A}{r}:
\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dr}\!\left(r\dfrac{dV}{dr}\right) = -\dfrac{1}{\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{A}{r}.
Multiplicando ambos os lados por r para simplificar,
\dfrac{d}{dr}\!\left(r\dfrac{dV}{dr}\right) = -\dfrac{A}{\varepsilon_{0}}.
Esta é uma equação de primeira ordem para a função r\dfrac{dV}{dr}.

Passo 4

Integrar a equação uma vez para obter r\dfrac{dV}{dr}:
  • Integração em r:
r\dfrac{dV}{dr} = \int -\dfrac{A}{\varepsilon_{0}}\,dr = -\dfrac{A}{\varepsilon_{0}}\,r + C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração. Aqui o termo -\dfrac{A}{\varepsilon_{0}}\,r vem da integral direta e C_{1} acumula qualquer termo constante.

Passo 5

Isolar dV/dr e integrar novamente para obter V(r):
  • Dividindo por r,
\dfrac{dV}{dr} = -\dfrac{A}{\varepsilon_{0}} + \dfrac{C_{1}}{r}.
  • Integrando em r,
V(r) = \int\left(-\dfrac{A}{\varepsilon_{0}} + \dfrac{C_{1}}{r}\right)dr = -\dfrac{A}{\varepsilon_{0}}\,r + C_{1}\ln r + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Portanto a solução geral na região a<r<b é
V(r) = -\dfrac{A}{\varepsilon_{0}}\,r + C_{1}\ln r + C_{2}.

Passo 6

Aplicar as condições de contorno para determinar C_{1} e C_{2}:
  • Condições: V(a)=V_{0} e V(b)=0.
  • Escrevendo as duas equações:
-\dfrac{A}{\varepsilon_{0}}\,a + C_{1}\ln a + C_{2} = V_{0},
-\dfrac{A}{\varepsilon_{0}}\,b + C_{1}\ln b + C_{2} = 0.
  • Subtraindo a segunda da primeira para eliminar C_{2}:
-\dfrac{A}{\varepsilon_{0}}(a-b) + C_{1}(\ln a - \ln b) = V_{0}.
  • Como \ln a - \ln b = \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = -\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right), isolamos C_{1}:
C_{1} = \dfrac{V_{0} + \dfrac{A}{\varepsilon_{0}}(a-b)}{\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)} = -\,\dfrac{V_{0} + \dfrac{A}{\varepsilon_{0}}(a-b)}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.

Passo 7

Determinar C_{2} e escrever a solução de forma mais compacta:
  • Usando V(b)=0 para achar C_{2}:
C_{2} = \dfrac{A}{\varepsilon_{0}}\,b - C_{1}\ln b.
  • Substituindo C_{1} e C_{2} na expressão de V(r) e rearranjando para uma forma clara, uma expressão conveniente é obter termos com \ln\!\left(\dfrac{b}{r}\right):
V(r) = -\dfrac{A}{\varepsilon_{0}}\,(r-b) + C_{1}\ln\!\left(\dfrac{r}{b}\right).
  • Substituindo C_{1} na forma que usa \ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right) (positivo porque b>a), obtém-se a forma final
V(r) = -\dfrac{A}{\varepsilon_{0}}\,(r-b) + \dfrac{V_{0} + \dfrac{A}{\varepsilon_{0}}(a-b)}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}\, \ln\!\left(\dfrac{b}{r}\right), \qquad a<r<b.
Essa expressão é mais intuitiva: o termo com \ln generaliza o potencial logarítmico do cabo coaxial sem carga no dielétrico, enquanto o termo linear em r aparece devido à densidade de carga \rho\propto 1/r.

Passo 8

Verificação rápida de consistência (útil para a prova): caso não haja carga no espaço ( A=0), a expressão deve reduzir ao resultado clássico do coaxial:
  • Substituindo A=0 em V(r) obtemos
V(r)=\dfrac{V_{0}}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}\ln\!\left(\dfrac{b}{r}\right),
que é exatamente o potencial conhecido para um cabo coaxial sem carga no dielétrico. Isso dá confiança de que a solução com A\neq 0 está correta.

Resposta

V(r) = -\dfrac{A}{\varepsilon_{0}}\,(r-b) + \dfrac{V_{0} + \dfrac{A}{\varepsilon_{0}}(a-b)}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}\, \ln\!\left(\dfrac{b}{r}\right),\qquad a<r<b.

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