Considere que o espaço entre os condutores interno e externo de um longo cabo co-axial cilíndrico é preenchido com uma nuvem de elétrons tendo uma densidade de carga
para
, onde
e
são os raios interno e externo dos condutores, respectivamente. O condutor interno é mantido a um potencial
, e o condutor externo está aterrado. Use a equação de Poisson para determinar o potencial eletrostático na região
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o potencial eletrostático no espaço entre os condutores interno e externo de um cabo coaxial, onde há uma nuvem de elétrons com densidade de carga dada. Informações e perguntas claras retiradas do enunciado:
- Geometria: cabo coaxial longo (comprimento muito maior que os raios), com raios do condutor interno e externo dados por
e , respectivamente, com . - Região de interesse:
(espaço entre os condutores). - Densidade volumétrica de carga nessa região:
para . (Valor de dado como constante.) - Condições de contorno elétricas: condutor interno mantido ao potencial
e condutor externo aterrado (potencial em ). - Pergunta: usar a equação de Poisson para determinar o potencial eletrostático
na região .
Passo 2
Por que podemos usar uma equação radial simples? Explicando a simetria e a equação de Poisson:
- Como o cabo é longo e uniforme no eixo longitudinal, e a distribuição de carga depende apenas de
(não de nem de ), o potencial também depende somente de : . - A equação de Poisson em vácuo vale
onde
é a permissividade do vácuo.
- Em coordenadas cilíndricas, para uma função que depende apenas de
, o laplaciano é
Portanto a equação de Poisson reduz-se a uma equação ordinária em
.
Passo 3
Escrever a equação diferencial explícita usando
:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar,
Esta é uma equação de primeira ordem para a função
.
Passo 4
Integrar a equação uma vez para obter
:
- Integração em
:
onde
é uma constante de integração. Aqui o termo
vem da integral direta e
acumula qualquer termo constante.
Passo 5
Isolar
e integrar novamente para obter
:
- Dividindo por
,
- Integrando em
,
onde
é outra constante de integração. Portanto a solução geral na região
é
Passo 6
Aplicar as condições de contorno para determinar
e
:
- Condições:
e . - Escrevendo as duas equações:
- Subtraindo a segunda da primeira para eliminar
:
- Como
, isolamos :
Passo 7
Determinar
e escrever a solução de forma mais compacta:
- Usando
para achar :
- Substituindo
e na expressão de e rearranjando para uma forma clara, uma expressão conveniente é obter termos com :
- Substituindo
na forma que usa (positivo porque ), obtém-se a forma final
Essa expressão é mais intuitiva: o termo com
generaliza o potencial logarítmico do cabo coaxial sem carga no dielétrico, enquanto o termo linear em
aparece devido à densidade de carga
.
Passo 8
Verificação rápida de consistência (útil para a prova): caso não haja carga no espaço (
), a expressão deve reduzir ao resultado clássico do coaxial:
- Substituindo
em obtemos
que é exatamente o potencial conhecido para um cabo coaxial sem carga no dielétrico. Isso dá confiança de que a solução com
está correta.