Uma OPU com frequência de 500 MHz propaga-se num meio não magnético com \varepsilon_{\mathrm{r}}=5 e \sigma=0,02 \mathrm{~S} / \mathrm{m}. A propagação é no sentido +z e a amplitude do campo elétrico em z=0 é de 100 \mathrm{~V} / \mathrm{m}.
Determinar:
(1,0) a) a distância que a onda deve percorrer para que sua fase varie de 53,83^{\circ};
(1,0) b) a distância que a onda deve percorrer até que sua amplitude caia a 43,15 \% de seu valor inicial;
(I.0) c) a defasagem (em graus) entre os campos elétrico e magnético;
(1,0) d) a potência média que atravessa uma área quadrada (com lado \ell=2,2 \mathrm{~m} ), perpendicular à direção de propagação, colocada em z=1 \mathrm{~m}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo o que vem a seguir foi extraído do enunciado).
  • Dados numéricos:
    • frequência: f=500\\ \mathrm{MHz}=500\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
    • meio não magnético: \mu_{\mathrm{r}}=1\Rightarrow\mu=\mu_{0}.
    • permissividade relativa: \varepsilon_{\mathrm{r}}=5\Rightarrow\varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{\mathrm{r}}.
    • condutividade: \sigma=0,02\\ \mathrm{S/m}.
    • amplitude do campo elétrico em z=0: E_{0}=100\\ \mathrm{V/m}.
    • sentido de propagação: +z.
    • lado do quadrado: \ell=2{,}2\\ \mathrm{m} (logo área A=\ell^{2}).
    • posição para potência: z=1\\ \mathrm{m}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) distância z para que a fase varie \,53{,}83^\circ;
    (b) distância z para que a amplitude caia a 43{,}15\% do valor inicial;
    (c) defasagem (em graus) entre os campos elétrico e magnético;
    (d) potência média que atravessa a área quadrada (lado \ell=2{,}2\\ \mathrm{m}) colocada em z=1\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Principais fórmulas e conceitos que vamos usar (com explicação didática curta e o que cada símbolo significa):
  • frequência angular:
\omega=2\pi f,
onde \omega está em rad/s.
  • permissividade e permeabilidade do meio:
\varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{\mathrm{r}},\qquad \mu=\mu_{0}\mu_{\mathrm{r}}=\mu_{0}.
Aqui \varepsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} e \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • constante de propagação complexa:
\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{j\omega\mu\left(\sigma+j\omega\varepsilon\right)},
onde \alpha é a constante de atenuação (Np/m) e \beta é a constante de fase (rad/m). Para cálculo prático (fórmulas padrão, válidas sem precisar fazer raízes complexas “na mão”):
\kappa=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon},
\alpha=\frac{\omega\sqrt{\mu\varepsilon}}{\sqrt{2}}\sqrt{\sqrt{1+\kappa^{2}}-1}, \qquad \beta=\frac{\omega\sqrt{\mu\varepsilon}}{\sqrt{2}}\sqrt{\sqrt{1+\kappa^{2}}+1}.
Essas fórmulas surgem de manipular a raiz complexa e dão \alpha e \beta reais.
  • relação fase-distância:
\Delta\varphi=\beta z,
onde \Delta\varphi está em radianos e z em metros.
  • atenuação de amplitude:
|E(z)|=|E_{0}|e^{-\alpha z}.
Para atingir uma fração r da amplitude inicial: r=e^{-\alpha z}\Rightarrow z=-\dfrac{1}{\alpha}\ln r.
  • impedância intrínseca do meio (impedância de onda, complexa):
\eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}}.
A defasagem entre E e H (no domínio fasorial) é o argumento (fase) de \eta:
\phi_{E}-\phi_{H}=\arg(\eta).
Uma maneira rápida de obter a fase de \eta é notar que
\arg(\eta)=\frac{1}{2}\arg(j\omega\mu)-\frac{1}{2}\arg(\sigma+j\omega\varepsilon) =45^\circ-\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{\omega\varepsilon}{\sigma}\right),
pois \arg(j\omega\mu)=90^\circ e \arg(\sigma+j\omega\varepsilon)=\arctan\!\big((\omega\varepsilon)/\sigma\big).
  • potência média (valor médio da densidade de Poynting) para onda plana:
\langle S\rangle=\frac{1}{2}\Re\{E\times H^{*}\}=\frac{1}{2}|E|^{2}\Re\{\eta^{-1}\}.
A potência que atravessa uma área A perpendicular é P=\langle S\rangle A.

Passo 3

Calcular constantes básicas numéricas:
  • \omega=2\pi f:
\omega=2\pi(500\times10^{6})=2\pi\cdot5\times10^{8}=3{,}14159265\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.
  • permissividade do meio:
\varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{\mathrm{r}}=8{,}854187817\times10^{-12}\cdot5 =4{,}4270939085\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
  • permeabilidade:
\mu=\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}=1{,}2566370614\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
  • produto \omega\varepsilon e razão \kappa=\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}:
\omega\varepsilon=(3{,}14159265\times10^{9})\cdot(4{,}4270939085\times10^{-11}) \approx0{,}13909\\ \mathrm{S/m},
\kappa=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}=\frac{0{,}02}{0{,}13909}\approx0{,}1438.
  • fator auxiliar \omega\sqrt{\mu\varepsilon}. Observação prática: \omega\sqrt{\mu\varepsilon}=(\omega/c_{0})\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}} e \omega/c_{0}=2\pi f/c_{0}=\beta_{0} (constante de fase no vácuo). Numericamente:
\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\approx23{,}444\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 4

Calcular \alpha e \beta com as fórmulas dadas:
  • primeiro calcule \sqrt{1+\kappa^{2}}=\sqrt{1+0{,}1438^{2}}=\sqrt{1+0{,}02068}\approx1{,}01031.
  • então
\sqrt{\sqrt{1+\kappa^{2}}+1}=\sqrt{2{,}01031}\approx1{,}4186, \qquad \sqrt{\sqrt{1+\kappa^{2}}-1}=\sqrt{0{,}01031}\approx0{,}10153.
  • fator comum \dfrac{\omega\sqrt{\mu\varepsilon}}{\sqrt{2}}:
\frac{23{,}444}{\sqrt{2}}\approx16{,}581.
  • agora:
\alpha=16{,}581\times0{,}10153\approx1{,}683\\ \mathrm{Np/m},
\beta=16{,}581\times1{,}4186\approx23{,}540\\ \mathrm{rad/m}.
Resumo útil: \alpha\approx1{,}683\\ \mathrm{Np/m} e \beta\approx23{,}540\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 5

Queremos a distância z tal que a fase varie \Delta\varphi=53{,}83^\circ.
  • primeiro convertemos a fase para radianos:
\Delta\varphi=53{,}83^\circ=\frac{53{,}83\pi}{180}\\ \mathrm{rad}\approx0{,}9396\\ \mathrm{rad}.
  • usar \Delta\varphi=\beta z\Rightarrow z=\dfrac{\Delta\varphi}{\beta}:
z=\frac{0{,}9396}{23{,}540}\\ \mathrm{m}\approx0{,}03995\\ \mathrm{m}.
Portanto a distância pedida é aproximadamente 0{,}0400\\ \mathrm{m} (4,0 cm).

Passo 6

Queremos z tal que a amplitude caia a 43{,}15\% do valor inicial. Isto é r=0{,}4315.
  • da relação r=e^{-\alpha z} obtemos
z=-\frac{1}{\alpha}\ln r=\frac{-\ln(0{,}4315)}{\alpha}.
  • calcular numericamente:
-\ln(0{,}4315)\approx0{,}8402,
z=\frac{0{,}8402}{1{,}683}\\ \mathrm{m}\approx0{,}4993\\ \mathrm{m}.
Portanto a distância pedida é aproximadamente 0{,}499\\ \mathrm{m} (50,0 cm).

Passo 7

Queremos a defasagem (em graus) entre E e H. Como explicado no Passo 2, essa defasagem é \arg(\eta) onde
\arg(\eta)=45^\circ-\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{\omega\varepsilon}{\sigma}\right).
  • já temos \omega\varepsilon\approx0{,}13909 e \sigma=0{,}02, então
\frac{\omega\varepsilon}{\sigma}\approx\frac{0{,}13909}{0{,}02}\approx6{,}9545.
  • calcular o arco-tangente:
\arctan(6{,}9545)\approx81{,}793^\circ.
  • então
\arg(\eta)=45^\circ-\frac{81{,}793^\circ}{2}=45^\circ-40{,}8965^\circ\approx4{,}1035^\circ.
Portanto a defasagem entre os campos elétrico e magnético é aproximadamente 4{,}10^\circ (o campo E está avançado em relação a H por esse ângulo, conforme o sinal positivo).

Passo 8

Queremos a potência média que atravessa a área do quadrado de lado \ell=2{,}2\\ \mathrm{m} colocada em z=1\\ \mathrm{m}.
  • primeiro a amplitude de E em z=1\\ \mathrm{m}:
|E(1)|=E_{0}e^{-\alpha\cdot1}=100\,e^{-1{,}683}\\ \mathrm{V/m}\approx100\times0{,}1856\approx18{,}56\\ \mathrm{V/m}.
  • precisamos de \Re\{\eta^{-1}\}. Para isso usamos módulo e fase de \eta:
    • magnitude de \eta (fórmula padrão):
    |\eta|=\sqrt{\frac{\omega\mu}{\sqrt{\sigma^{2}+(\omega\varepsilon)^{2}}}}.Numérico: \sqrt{\sigma^{2}+(\omega\varepsilon)^{2}}=\sqrt{0{,}02^{2}+0{,}13909^{2}}\approx0{,}14051,
\omega\mu=(3{,}14159265\times10^{9})(1{,}2566370614\times10^{-6})\approx3947{,}84,
|\eta|=\sqrt{\frac{3947{,}84}{0{,}14051}}\approx167{,}69\\ \Omega.
  • fase de \eta calculada no Passo 7: \arg(\eta)\approx4{,}1035^\circ.
  • então
\Re\{\eta^{-1}\}=\frac{1}{|\eta|}\cos(\arg(\eta)) \approx\frac{1}{167{,}69}\cos(4{,}1035^\circ).
Numericamente:
\frac{1}{167{,}69}\approx0{,}0059639, \qquad \cos(4{,}1035^\circ)\approx0{,}99743,
\Re\{\eta^{-1}\}\approx0{,}0059486\\ \mathrm{S}.
  • densidade de potência média:
\langle S\rangle=\frac{1}{2}|E(1)|^{2}\Re\{\eta^{-1}\} =\frac{1}{2}(18{,}56)^{2}\times0{,}0059486\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Calcular:
(18{,}56)^{2}\approx344{,}5,\qquad \frac{1}{2}\times344{,}5\approx172{,}25,
\langle S\rangle\approx172{,}25\times0{,}0059486\approx1{,}024\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • área do quadrado:
A=\ell^{2}=(2{,}2)^{2}=4{,}84\\ \mathrm{m^{2}}.
  • potência média total:
P=\langle S\rangle A\approx1{,}024\times4{,}84\\ \mathrm{W}\approx4{,}958\\ \mathrm{W}.
Arredondando com sentido prático, P\approx4{,}96\\ \mathrm{W}.

Resposta

z_{\text{(a)}}\approx0{,}03995\\ \mathrm{m}
z_{\text{(b)}}\approx0{,}4993\\ \mathrm{m}
\text{defasagem}_{\text{\text{(c)}}}\approx4{,}1035^\circ
P_{\text{(d)}}\approx4{,}96\\ \mathrm{W}

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