7.7 Um condutor filamentar, que conduz uma corrente I na direção
\mathbf{a}{z}, se estende ao longo de todo o eixo z negativo.
\mathrm{Em} z=0, ele é conectado a uma lâmina de cobre que preenche o quadrante x>0, y>0, do plano x y. (a) Configure a lei de Biot-Savart e determine
\mathbf{H} em toda a parte do eixo z; (b) repita a parte (a), mas com a lâmina de cobre ocupando o plano x y inteiro (Sugestão: expresse
\mathbf{a}
{\varphi} por
\mathbf{a}{x},
\mathbf{a}
{y} e o ângulo
\varphi na integral).

Passo 1

O enunciado descreve um fio filiforme levando corrente I na direção \mathbf{a}_{z} e que ocupa toda a semi-reta z<0 sobre o eixo z. Em z=0 ele se conecta a uma lâmina de cobre que preenche o quadrante x>0,y>0 do plano xy. Queremos calcular o vetor intensidade de campo magnético \mathbf{H} em pontos sobre o próprio eixo z. Para isso vamos usar a Lei de Biot–Savart em sua forma para densidade superficial de corrente, introduzir a densidade \mathbf{K} na lâmina e fazer a integral sobre essa superfície.

Passo 2

Modelagem da densidade superficial de corrente na lâmina do quadrante. Como toda a corrente I sai do ponto de contato (origem) e se espalha radialmente no quadrante, impomos que, para um círculo de raio \rho em z=0 delimitando o setor \varphi\in[0,\tfrac\pi2]\,, a corrente total seja I:
\int_{0}^{\pi/2}K_{r}(\rho)\,\rho\,d\varphi = I.
Dessa igualdade segue
\bigl(\tfrac\pi2\bigr)\,K_{r}(\rho)\,\rho = I \quad\Longrightarrow\quad K_{r}(\rho)=\frac{2I}{\pi\,\rho}.
Logo em coordenadas cartesianas
\mathbf{K}(\rho,\varphi) =\frac{2I}{\pi\,\rho}\bigl(\cos\varphi\,\mathbf{a}_x+\sin\varphi\,\mathbf{a}_y\bigr).

Passo 3

Escrevendo a Lei de Biot–Savart para densidade superficial \mathbf{K} no plano z=0:
\mathbf{H}(0,0,z) =\frac{1}{4\pi} \iint_{S_{\rm lâmina}} \frac{\mathbf{K}(\rho,\varphi)\times\bigl(\mathbf{r}-\mathbf{r}'\bigr)} {\bigl|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\bigr|^3}\,dS',â
onde \mathbf{r}=(0,0,z) e \mathbf{r}'=(\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi,0). Logo
\mathbf{r}-\mathbf{r}'=(-\rho\cos\varphi,\,-\rho\sin\varphi,\,z),
e o elemento de área é dS'=\rho\,d\rho\,d\varphi. Calcula-se então
\mathbf{K}\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}') =\frac{2I}{\pi\,\rho}\bigl(\cos\varphi\,\mathbf{a}_x+\sin\varphi\,\mathbf{a}_y\bigr) \times(-\rho\cos\varphi,-\rho\sin\varphi,z),
o que resulta apenas em componentes nas direções \mathbf{a}_x e \mathbf{a}_y.

Passo 4

Fazendo o produto vetorial e integrando primeiro em \rho e depois em \varphi, usa-se a integral padrão
\int_{0}^{\infty}\frac{d\rho}{(\rho^2+z^2)^{3/2}}=\frac{1}{z^2},
e nota-se que \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi=\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\,d\varphi=1. O resultado é
\mathbf{H}(0,0,z) =\frac{I}{2\pi^2\,z}\,(\mathbf{a}_x-\mathbf{a}_y),
válido para z>0. Por simetria, para z<0 basta trocar z\to z (o sinal de z inverte o campo), ou seja \mathbf{H}(0,0,z)=\tfrac{I}{2\pi^2\,z}(\mathbf{a}_x-\mathbf{a}_y) para z\neq0.

Passo 5

Na parte (b) a lâmina ocupa todo o plano xy, de modo que \varphi\in[0,2\pi] e a densidade radial fica
K_{r}(\rho)=\frac{I}{2\pi\,\rho}.
Repetindo o mesmo cálculo, os termos proporcionais a \sin\varphi e \cos\varphi se anularão na integral de \varphi sobre 0 a 2\pi. Conclui-se então que
\mathbf{H}(0,0,z)=\mathbf{0} \quad\text{para todo }z\neq0.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{H}(0,0,z)=\frac{I}{2\pi^2\,z}\,(\mathbf{a}_x-\mathbf{a}_y) para z\neq0.
(b) \displaystyle \mathbf{H}(0,0,z)=\mathbf{0} para z\neq0.

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