7.7 Um condutor filamentar, que conduz uma corrente I na direção
\mathbf{a}{z}, se estende ao longo de todo o eixo z negativo.
\mathrm{Em} z=0, ele é conectado a uma lâmina de cobre que preenche o quadrante x>0, y>0, do plano x y. (a) Configure a lei de Biot-Savart e determine
\mathbf{H} em toda a parte do eixo z; (b) repita a parte (a), mas com a lâmina de cobre ocupando o plano x y inteiro (Sugestão: expresse
\mathbf{a}{\varphi} por
\mathbf{a}{x},
\mathbf{a}{y} e o ângulo
\varphi na integral).
Passo 1
O enunciado descreve um fio filiforme levando corrente I na direção \mathbf{a}_{z} e que ocupa toda a semi-reta z<0 sobre o eixo z. Em z=0 ele se conecta a uma lâmina de cobre que preenche o quadrante x>0,y>0 do plano xy. Queremos calcular o vetor intensidade de campo magnético \mathbf{H} em pontos sobre o próprio eixo z. Para isso vamos usar a Lei de Biot–Savart em sua forma para densidade superficial de corrente, introduzir a densidade \mathbf{K} na lâmina e fazer a integral sobre essa superfície.
Passo 2
Modelagem da densidade superficial de corrente na lâmina do quadrante. Como toda a corrente I sai do ponto de contato (origem) e se espalha radialmente no quadrante, impomos que, para um círculo de raio \rho em z=0 delimitando o setor \varphi\in[0,\tfrac\pi2]\,, a corrente total seja I:
\int_{0}^{\pi/2}K_{r}(\rho)\,\rho\,d\varphi = I.
Dessa igualdade segue
\bigl(\tfrac\pi2\bigr)\,K_{r}(\rho)\,\rho = I \quad\Longrightarrow\quad K_{r}(\rho)=\frac{2I}{\pi\,\rho}.
válido para z>0. Por simetria, para z<0 basta trocar z\to z (o sinal de z inverte o campo), ou seja \mathbf{H}(0,0,z)=\tfrac{I}{2\pi^2\,z}(\mathbf{a}_x-\mathbf{a}_y) para z\neq0.
Passo 5
Na parte (b) a lâmina ocupa todo o plano xy, de modo que \varphi\in[0,2\pi] e a densidade radial fica
K_{r}(\rho)=\frac{I}{2\pi\,\rho}.
Repetindo o mesmo cálculo, os termos proporcionais a \sin\varphi e \cos\varphi se anularão na integral de \varphi sobre 0 a 2\pi. Conclui-se então que
\mathbf{H}(0,0,z)=\mathbf{0} \quad\text{para todo }z\neq0.
Resposta
(a) \displaystyle \mathbf{H}(0,0,z)=\frac{I}{2\pi^2\,z}\,(\mathbf{a}_x-\mathbf{a}_y) para z\neq0.
(b) \displaystyle \mathbf{H}(0,0,z)=\mathbf{0} para z\neq0.