A Equação (66) também é obviamente aplicável ao exterior de qualquer condutor de seção reta circular pelo qual passe uma corrente I na direção \mathbf{a}_{z}, no espaço livre. O zero de referência é arbitrariamente escolhido em \rho=b. Considere agora dois condutores, cada um com 1 cm de raio, paralelos ao eixo z e com seus eixos pertencentes ao plano x=0. Um dos condutores, cujo eixo está em ( 0,4 \mathrm{~cm}, z ), possui uma corrente de 12 A na direção \mathbf{a}_{z}. O outro eixo está em ( 0,-4 \mathrm{~cm}, z ) e possui uma corrente de 12 A na direção - \mathbf{a}_{z}. Cada corrente possui seu zero de referência para \mathbf{A} posicionado a 4 cm de seu eixo. Calcule o campo A total em:
(d) (2 \mathrm{~cm}, 4 \mathrm{~cm}, z)

Passo 1

O enunciado pede o potencial vetor total \mathbf{A} no ponto (2\text{ cm},4\text{ cm},z) gerado por dois condutores infinitos e paralelos ao eixo z, um em (0,4\text{ cm},z) com corrente I_1=+12\text{ A} e outro em (0,-4\text{ cm},z) com I_2=-12\text{ A}. Cada condutor tem raio de 1\text{ cm} e seu referencial para \mathbf{A} é \rho=b=4\text{ cm}. O conteúdo a usar é a expressão do potencial vetor de um fio retilíneo infinito no espaço livre, fora do condutor.

Passo 2

Para um condutor infinito, fora de sua seção, o potencial vetor tem apenas componente z e vale
A_z(\rho) =\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi}\,\ln\!\bigl(\tfrac{b}{\rho}\bigr),
onde \rho é a distância radial ao eixo do fio e b é o raio de referência onde A_z(b)=0. Logo
\mathbf{A}(\rho)=A_z(\rho)\,\mathbf{a}_{z}.

Passo 3

Para o fio 1 em (0,4\text{ cm}) com I_1=+12\text{ A}, a distância até (2,4) é
\rho_1=\sqrt{(2-0)^2+(4-4)^2}\,\text{cm}=2\text{ cm}.
Aplicando a fórmula com b=4\text{ cm}:
A_{1z} =\frac{\mu_{0}\,12}{2\pi}\,\ln\!\bigl(\tfrac{4}{2}\bigr) =\frac{\mu_{0}\,12}{2\pi}\,\ln2.

Passo 4

Para o fio 2 em (0,-4\text{ cm}) com I_2=-12\text{ A}, a distância até (2,4) é
\rho_2=\sqrt{(2-0)^2+(4-(-4))^2}\,\text{cm} =\sqrt{4+64}\,\text{cm} =\sqrt{68}\,\text{cm}.
Como b=4\text{ cm},
A_{2z} =\frac{\mu_{0}\,(-12)}{2\pi}\,\ln\!\bigl(\tfrac{4}{\sqrt{68}}\bigr) =-\frac{\mu_{0}\,12}{2\pi}\,\ln\!\bigl(\tfrac{4}{\sqrt{68}}\bigr).

Passo 5

Somando A_{1z}+A_{2z} e simplificando:
A_{1z}+A_{2z} =\frac{\mu_{0}\,12}{2\pi}\Bigl[\ln2-\ln\!\bigl(\tfrac{4}{\sqrt{68}}\bigr)\Bigr] =\frac{\mu_{0}\,12}{2\pi}\Bigl[\ln2-\bigl(\ln4-\tfrac12\ln68\bigr)\Bigr] =\frac{\mu_{0}\,6}{2\pi}\,\ln68 =\frac{3\mu_{0}}{\pi}\,\ln17.
Portanto
\mathbf{A}_{\text{total}} =\frac{3\mu_{0}}{\pi}\,\ln17\;\mathbf{a}_{z} \approx3{,}4\times10^{-6}\;\mathbf{a}_{z}\quad(\text{em Wb/m}).

Resposta

\mathbf{A}(2\text{ cm},4\text{ cm},z) =\frac{3\mu_{0}}{\pi}\,\ln17\;\mathbf{a}_{z} \approx3{,}4\times10^{-6}\,\mathbf{a}_{z}\,\text{Wb/m}.

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