7.4 (a) Determine
\mathbf{H} no eixo z na faixa -h<z<h. Considere I=1 A e faça o gráfico de |\mathbf{H}| em função de z / a se (b) h=a / 4; (c) h=a / 2; (d) h=a. Qual valor de h fornece o campo mais uniforme? Esse sistema é denominado bobinas de Helmholtz (neste caso, as bobinas correspondem às duas espiras*), utilizadas para oferecer campos uniformes. i) Duas espiras circulares estão centradas no eixo z, em z= \pm h. Cada espira tem raio a e conduz uma corrente I na direção
\mathbf{a}_{\n\varphi}.

Passo 1

O problema descreve duas espiras circulares de raio a, centradas nos pontos z=+h e z=-h ao longo do eixo z. Cada espira conduz corrente I=1\\ \mathrm{A} no sentido \mathbf{a}_{n\varphi}. Queremos calcular o vetor \mathbf{H} (campo de intensidade magnética) ao longo do eixo z, na faixa -h<z<h, e em seguida traçar o gráfico de \bigl|\mathbf{H}\bigr| em função de z/a para três valores de h: h=a/4, h=a/2 e h=a. O conteúdo matemático utilizado será a Lei de Biot–Savart para o campo de uma espira circular e o princípio da superposição.

Passo 2

Para uma única espira de raio a centrada na origem e corrente I, o campo magnético na posição z do eixo z (em módulo, na direção \mathbf{a}_z) é dado por
B(z)\;=\;\frac{\mu_{0}\,I\,a^{2}}{2\bigl(a^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}
e, como \mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu_{0}, temos
H_{\text{espira}}(z)\;=\;\frac{I\,a^{2}}{2\bigl(a^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}\;\mathbf{a}_{z}\,.

Passo 3

Aplicando superposição para as duas espiras, uma em z=+h e outra em z=-h, ambas com I=1\\ \mathrm{A}, obtemos
\mathbf{H}(z) =\;H_{+}(z)\,\mathbf{a}_{z}+H_{-}(z)\,\mathbf{a}_{z} \;=\;\frac{a^{2}}{2}\Biggl[\frac{1}{\bigl(a^{2}+(z-h)^{2}\bigr)^{3/2}} +\frac{1}{\bigl(a^{2}+(z+h)^{2}\bigr)^{3/2}}\Biggr]\mathbf{a}_{z}\,.

Passo 4

Para simplificar a análise e traçar o gráfico, definimos as variáveis adimensionais
\zeta=\frac{z}{a} \quad,\quad \eta=\frac{h}{a}
e normalizamos H dividindo por I/a. Assim, o módulo adimensional fica
\widetilde{H}(\zeta;\eta) =\frac{1}{2}\Biggl[\frac{1}{\bigl(1+(\zeta-\eta)^{2}\bigr)^{3/2}} +\frac{1}{\bigl(1+(\zeta+\eta)^{2}\bigr)^{3/2}}\Biggr].

Passo 5

Para cada valor de \eta \tfrac14, \tfrac12 e 1, avaliamos \widetilde{H}(\zeta;\eta) em \zeta\in[-\eta,\eta] e traçamos o gráfico de \widetilde{H} versus \zeta. Observa-se que:
  • Para \eta=1/4, o campo varia bastante no interior -\eta<\zeta<\eta.
  • Para \eta=1/2, a variação é menor, mas ainda perceptível.
  • Para \eta=1, a curva de \widetilde{H} fica a mais plana possível em torno de \zeta=0, indicando maior uniformidade do campo.

Passo 6

O critério de “campo mais uniforme” é aquele em que a segunda derivada de \widetilde{H} em \zeta=0 é zero e a variação em toda a região -\eta<\zeta<\eta é mínima. Isso ocorre quando
\eta=\frac{h}{a}=1 \;\Longrightarrow\; h=a.

Resposta

\mathbf{H}(z) =\frac{a^{2}}{2}\Biggl[\frac{1}{\bigl(a^{2}+(z-h)^{2}\bigr)^{3/2}} +\frac{1}{\bigl(a^{2}+(z+h)^{2}\bigr)^{3/2}}\Biggr]\mathbf{a}_{z},
com I=1\\ \mathrm{A}. Nos gráficos de \bigl|\mathbf{H}\bigr| versus z/a, a separação h=a (bobinas de Helmholtz propriamente ditas) fornece o campo mais uniforme.

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