(Condutores - perdas dielétricas)
Considere um cabo unipolar de alumínio, isolação XLPE, classe de isolamento (
) kV , seção do condutor
e comprimento
. Dados geométricos: diâmetro do condutor
; espessura da isolação
; camadas semicondutoras interna e externa
. Admita
a 60 Hz .
(a) Calcule o diâmetro sobre a isolação
.
(b) Estime a capacitância do cabo por quilômetro usando
.
(c)
e
, calcule a perda dielétrica por unidade de comprimento
e a perda total
.
(a) Calcule o diâmetro sobre a isolação
(b) Estime a capacitância do cabo por quilômetro usando
(c)
Passo 1
O enunciado pede três coisas e fornece os seguintes dados:
-
Perguntas:
- Calcular o diâmetro sobre a isolação
. - Estimar a capacitância do cabo por quilômetro usando a fórmula dada.
- Com
e , calcular a perda dielétrica por unidade de comprimento usando a fórmula dada e a perda total .
- Calcular o diâmetro sobre a isolação
-
Dados fornecidos:
A resolução começa agora.
Passo 2
Cálculo do diâmetro sobre a isolação
.
Raciocínio: o diâmetro externo sobre a isolação é o diâmetro do condutor mais duas vezes as espessuras radiais das camadas que recobrem o condutor (camada semicondutora interna, isolação e camada semicondutora externa). Logo,
Substituindo os valores:
Calcule a soma interna:
então
Observação: verifiquei que alguns textos tomam as espessuras semicondutoras agrupando de forma a obter exatamente
se alguma espessura for arredondada; usando os valores dados acima o resultado correto é
.
Passo 3
Explicação e uso da fórmula da capacitância dada.
Fórmula fornecida:
O que significa cada símbolo:
-
é a capacitância por quilômetro do cabo (em ). -
é a permissividade relativa do isolante (adimensional). -
e são, respectivamente, os diâmetros sobre a isolação e do condutor (ambos em mm). O logaritmo natural aparece porque a capacitância de um capacitor cilíndrico depende do logaritmo da razão de raios.
Agora calculemos a razão e o logaritmo:
Calcule o logaritmo natural:
Agora substituímos na fórmula:
Calcule o numerador:
Dividindo:
Arredondando com razoável precisão:
Passo 4
Preparação para o cálculo das perdas dielétricas: interpretação das fórmulas e variáveis.
A fórmula padrão para a potência dissipada em um capacitor por perdas dielétricas é
onde
-
é a tensão eficaz entre condutor e terra (ou fase), -
é a pulsação (rad/s), -
é a capacitância em farads por unidade de comprimento (F/m), -
é o fator de perda dielétrica (adimensional).
No enunciado foi dada uma expressão pronta:
Aqui devemos tomar cuidado com as unidades exigidas pela fórmula fornecida. Vamos usar a fórmula exatamente como dada, considerando:
-
em (como calculado no passo anterior), -
em (pois o enunciado dá em ), -
em , - o resultado de
obtido com essa fórmula corresponde à perda por unidade de comprimento expressa em (isto é consistente com a forma como constante numérica foi escolhida na fórmula dada).
Portanto usaremos a fórmula dada diretamente com as unidades acima.
Passo 5
Cálculo de
.
Definição:
Substituindo
,
Passo 6
Cálculo de
por unidade de comprimento usando a fórmula dada.
Recapitulando valores a usar:
Aplicando a fórmula:
Calcule
:
Calcule o produto passo a passo:
Multiplicando por
:
Multiplicando por
:
Finalmente multiplicando pela constante
:
(Usando os valores mais exatos do passo 3, se preferir, obtém-se aproximadamente
. Ambos estão na mesma ordem de grandeza; mantendo consistência com o
calculado mais preciso no passo 3 usaremos a estimação arredondada a seguir.)
Adotando o valor calculado com maior precisão (usando
do passo 3):
Passo 7
Cálculo da perda total no comprimento
.
A perda total
para o comprimento
é simplesmente:
Usando
:
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) \n
(b)
(c)